Usuario:Pinar Sacristan/Taller

La exponencial de una matriz como solución de un sistema de EDO lineales

Dada $A$ una matriz cuadrada de dimensión $n\times n$, se tiene que $x(t)=e^{At}$ es solución de la ecuación diferencial ${\dot {x}}(t)={A}{x}(t)$. Esto se sigue la siguiente propiedad: ${\frac {d}{dt}}(e^{At})=Ae^{At}$.

Demostración:

Partiendo de la definición de derivada y usando que $e^{A(t+h)}=e^{At}e^{Ah}$ $\forall t,h\in \mathbb {R}$, se tiene que

${\frac {d}{dt}}(e^{At})=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}}=e^{At}{\bigg (}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{Ah}-I}{h}}{\bigg )}$.

Por consiguiente, la prueba se reduce a demostrar que este límite existe y que $\lim _{h\to 0}{\frac {e^{Ah}-I}{h}}=A$.

Usando la definición de exponencial de una matriz, $e^{Ah}=I+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}$, se sigue que

${\frac {e^{Ah}-I}{h}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}=A+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}$.

Finalmente, queda demostrar que: $\lim _{h\to 0}{\Bigg \Vert }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}{\Bigg \Vert }=0$. Utilizando las propiedades de la norma matricial y operando sobre la expresión del límite, se llega a que

${\Bigg \Vert }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k+1}h^{k}}{(k+1)!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A}{k+1}}{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Bigg \Vert }={\Bigg \Vert }A\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{(k+1)k!}}{\Bigg \Vert }\leq {\Bigg \Vert }A\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Bigg \Vert }\leq \Vert A\Vert \Vert e^{Ah}-I\Vert$.

Usando la desigualdad triangular y sabiendo que la suma infinita presente en la definición de exponencial es convergente,

$\Vert e^{Ah}-I\Vert ={\Big \Vert }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k}}{k!}}{\Big \Vert }\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Vert A\Vert ^{k}h^{k}}{k!}}=e^{\Vert A\Vert h}-1$.

Luego se tiene que $\lim _{h\to 0}{\Big \Vert }(\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {A^{k}h^{k-1}}{k!}}){\Big \Vert }=0$, con lo que concluye la demostración.