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La exponencial de una matriz como solución de un sistema de EDO lineales
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Dada una matriz cuadrada de dimensión , se tiene que es solución de la ecuación diferencial . Esto se sigue la siguiente propiedad: .
Partiendo de la definición de derivada y usando que , se tiene que
.
Por consiguiente, la prueba se reduce a demostrar que este límite existe y que .
Usando la definición de exponencial de una matriz, , se sigue que
.
Finalmente, queda demostrar que: . Utilizando las propiedades de la norma matricial y operando sobre la expresión del límite, se llega a que
.
Usando la desigualdad triangular y sabiendo que la suma infinita presente en la definición de exponencial es convergente,
.
Luego se tiene que , con lo que concluye la demostración.