Usuario:Nahia Badiola/Taller

Segida baten elementuen biderkadura

Pi letra larriaren notazioa

Segida baten elementuen biderkadura 𝚷 biderkaduraren sinboloarekin idatz daiteke. Notazio horren esanahia ondoko honetan ikusten da:

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\cdot (2+1)\cdot (3+1)\cdot (4+1)=120$

Idazkera horretan, $i$ aldagaiak zenbaki oso bat adierazten du, biderketa-indize deritzona, eta azpiindizean adierazitako 1 balio txikienetik goi-indizeak emandako 4 balio goreneraino doa. Biderkadura lortzeko, biderketa-indizea azpi- eta goi-indizeen arteko zenbaki oso bakoitzarekin ordezkatu eta elementu guztiak biderkatu behar dira. Oro har, honela definitzen da notazioa:

$\prod _{i=m}^{n}(x_{i})=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

non $m$ eta $n$ zenbaki osoak diren.

$m=n$ denean, biderkaduraren balioa  $x_{m}$ balioa bera da; $m>n$ bada,

biderkadura 1 balioa da, elementuen adierazpena edozein dela ere.

Pi letra larriaren propietateak

Definizioz,

$\prod _{i=1}^{n}(x_{i})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$

Elementu guztiak berdinak badira, $n$ elementuen biderkadura esponentziazioaren baliokidea da:

$\prod _{i=1}^{n}(x_{i})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$

Biderketaren elkartasunaren eta trukakortasunaren ondorioz,

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\prod _{i=1}^{n}y_{i}{\bigg )}$beteko da,

eta $a$ zenbaki oso ez-negatiboa bada, edo $x_{i}$ guztiak zenbaki erreal positiboak badira,

${\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}$.

Biderkadura infinituak

Infinitu terminoko biderkadurak ere har daitezke; horiei produktu infinitu deritze. Notazio aldetik, $n$ goi-indizean infinituaren  sinboloaz (∞) ordeztean datza. Sekuentzia infinitu horren biderkadura lehenengo $n$ gaien biderkaduraren limite gisa definitzen da, $n$ borne gabe hazi ahala. Hau da,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}$.

Era berean, azpiindizean $m$ infinitu negatiboagatik ordezkatu daiteke, hurrengoa definituz:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}={\bigg (}\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}$

(hori egin ahal izateko bi limiteek existitu behar dute).

Kalkulua

Biderketa-taula

Biderketa-algoritmoek 0tik 10erako zenbakien arteko biderketak buruz jakitea eskatzen dute gehienetan. Oinarrizko biderketa horiek ikasteko erabiltzen da biderketa-taula:

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Biderketa-taulako emaitzak buruz jakitea ez da guztiz erraza, batez ere biderkatu beharreko zenbakiak $[6,9]$ tartean badaude. Halere, eskuko hatzak erabiliz azkar egin daiteke kalkulua.

Adibidez, $8\times 7$ egin behar bada, ezkerreko eskutik $5$etik hasita $8$ arteko atzamarrak ateratzen dira: $3$ guztira. Eskuineko eskutik $5$etik hasita $7$ arteko atzamarrak ateratzen dira: $2$ guztira. Jarraian, ateratako atzamar kopuruak batu $(3+2=5)$ eta atera gabekoak biderkatu egiten dira $(2\times 3=6)$. Amaitzeko, bi emaitzak batera jarriz biderkadura lortzen da $(8\times 7=56)$.Kalkulu-metodo honen azalpena biderketaren banatze propietatea erabiliz egin daiteke. $a$ eta $b$ bi eskuetan ateratako hatzak eta $x$ eta $y$ atera gabeko hatzak badira, hurrenez hurren:

$(10-x)(10-y)=10(10-x)-(10-x)y=10(10-x)-10y+xy=10(10-x-y)+xy=10(a+b)+xy.$

Halaber, $[11,15]$ bitarteko zenbakiak biderkatzeko antzeko metodo bat erabil daiteke, baina oraingoan, emaitza lortzeko, ateratako hatzak bakarrik erabiltzen dira. Ateratako hatz kopuruen baturak $100$ zenbakiari gehitu beharreko hamarrekoen kopurua adierazten du. Ateratako hatz kopuruen biderketak, berriz, gehitu beharreko unitateen kopurua adierazten du. Horrela $11\cdot 12=132$ egiteko, $1$ eta $2$ hatz ateratzen da hurrenez hurren. $100$era gehitu beharreko hamarkada kopurua $1+2=3$ da. Gehitu beharreko unitateak $1\times 2=2$ dira. Horrela:

$11\times 12=100+(1+2)\times 10+1\times 2=132.$