Usuario:Misifu17

Definición 1. Conjunto. Colección de objetos bien definidos.

Definición 2. Elementos. Son los objetos que pertenecen a un conjunto.

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento $a$ pertenece a un conjunto $A$, lo representamos matemáticamente como $a\in A$, y si un elemento $b$ no pertenece a un conjunto $A$, lo expresamos como $b\not \in A$.

Un conjunto se puede especificar ya sea por extensión (o enumeración) o por descripción.

Definición 3. Especificación por extensión o enumeración. Cuando un conjunto es finito y consta de los $n$ elementos $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$, entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: $A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$.

Definición 4. Especificación por descripción. Si $P$ es una propiedad y $a$ un objeto, entonces $A=\{x|P(x)\}$ denota el conjunto de objetos que poseen la propiedad $P$ (los elementos de $A$), donde los símbolos $|$ ó $:$ se leen como "tal que". Otra forma de denotar los elementos infinitos de un conjunto es expresando explícitamente sus primeros elementos y luego poner puntos suspensivos, siendo que queda entendida de manera implícita la sucesión infinita.

Ejemplos:

1. El conjunto de todas las vocales minúsculas del alfabeto español se puede especificar por extensión como: $V=\{a,e,i,o,u\}$. Y por descripción como: $V=\{x\ |\ x\ es\ una\ vocal\ min{\acute {u}}scula\ del\ alfabeto\ espa{\tilde {n}}ol\}$
2. El conjunto de todos los animales de Villa Fantasía se puede determinar por enumeración así: $A=\{chango_{1},chango_{2},chango_{3},caballo,tigre,guacamaya\}$.
3. El conjunto de todos los números naturales se puede representar por descripción como: $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \}$, donde el símbolo $\mathbb {N}$ se utiliza exclusivamente para denotar dicho conjunto.
4. $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}$
5. El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como: $P=\{n\ |\ n\ es\ m{\acute {u}}ltiplo\ de\ 2\}.$
6. El conjunto de los números impares: $I=\{n\ :\ n\in \mathbb {N} ,n\ no\ es\ m{\acute {u}}ltiplo\ de\ 2\}$.

Definición 5. Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que $\forall x\in A\rightarrow x\in B$ y que $\forall x\in B\rightarrow x\in A$. Lo anterior se representa como $A=B$ y se leé: "A es igual a B".

Definición 6. Conjuntos finitos e infinitos. Un conjunto es finito cuando consta de $n$ elementos diferentes, siendo $n$ un número natural o el cero: $n\in \mathbb {N} _{0}$. En caso contrario se dice que dicho conjunto es infinito.

Definición 7. Subconjuntos y superconjuntos: Se dice que un conjunto $A$ es subconjunto de un conjunto $B$ si todo elemento de $A$ pertenece a $B$, o en notación matemática: $A\subset B$ y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B).

Proposición 1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: $A\subset A$

Demostración:

Aplicaremos las leyes de la lógica-matemática como reglas lógicas de inferencia. Por lo tanto:

1. $\forall x\in A\rightarrow x\in A$ (principio lógico de identidad)
2. $A\subset A$, donde hemos aplicado la definición 7 a 1. $\blacksquare$

Proposición 2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos. Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como $A=B$ solo si $A\subset B$ y $B\subset A$.

Demostración: Como la proposición implica una bicondicional ($A=B\leftrightarrow A\subset B\land B\subset A$), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que

$A\subset B$ (se leé: "A es subconjunto de B ó A está contenido en B") si y solo si para todo $a\in A$ se tiene que $a\in B$. Y en ese caso se dice que $B$ es superconjunto de $A$, ó $B\supset A$ (se leé: B es superconjunto de A"), donde los símbolos $\subset$ y $\supset$ son los símbolos de subconjunto y superconjunto respectivamente.$A=B\rightarrow A\subset B\land B\subset A$ y luego deberemos demostrar que $A\subset B\land B\subset A\rightarrow A=B$.

Primera parte: Hipótesis: $A=B$. Por demostrar: $A\subset B\land B\subset A$

Demostración:

1. Como $A=B$, tenemos debido a la proposición 1 que $A\subset B$ y $B\subset A$

Segunda parte: Hipótesis: $A\subset B\land B\subset A$. Por demostrar: $A=B$

Demostración:

1. Como $A\subset B$ (por hipótesis), tenemos que $\forall a\in A\rightarrow a\in B$ (debido a la definición 7).
2. De igual forma, como $B\subset A$, entonces $\forall a\in B\rightarrow a\in A$.
3. Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la definición 5. vemos que $A=B$. $\blacksquare$