Usuario:MRS~eswiki/taller

Aquí escribo trozos de artículos y luego los pongo en las páginas correspondientes.
Es una página personal, por favor no tocar

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página muy útil: Wikipedia:Usando TeX

Para alinear laTex: aaa${\frac {a}{b}}$bbb no funciona

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$f'(x_{1})\ \leq \ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\ \leq \ f'(x_{2})$

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$abs(x)=|x|=\left\{{\begin{matrix}-x&{\mbox{ si }}x\leq 0\\{\mbox{ }}&\\x&{\mbox{ si }}x\geq 0\end{matrix}}\right.$

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${\mathfrak {S}}_{1}=\{id\}\quad {\mathfrak {S}}_{2}=\{id,s\}\quad {\mathfrak {S}}_{3}=\{id,r,r^{2},s,sr,sr^{2}\}\quad \mathbb {Z} _{1}\mathbb {Z} _{2}\quad \mathbb {Z} _{3}\sim$

$\left\{{\begin{matrix}x&=&r\cos \theta \;\cos \phi \\y&=&r\cos \theta \;{\mbox{sen }}\phi \\z&=&r{\mbox{sen }}\theta \end{matrix}}\right.\qquad {\mbox{con }}-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}},\ \ {\mbox{ y }}\ \ -\pi <\phi \leq \pi$

${\frac {2}{d}}{\sqrt {m(m-r)(m-r')(m-d)}}\quad {\mbox{ con }}\quad m={\frac {r+r'+d}{2}}$

$V_{n+1}=I_{n+1}V_{n}\ {\mbox{ con }}\ I_{n}=2\int _{0}^{\frac {\Pi }{2}}{\mbox{sen}}^{n}\ t\ dt$

$I_{n}={\frac {n-1}{n}}I_{n-2}$

$V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}$

$\left\{{\begin{matrix}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta ={\mbox{ arcsen }}{\frac {z}{r}}={\mbox{ arcsen }}{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\phi ={\mbox{ arsen }}{\frac {y}{r\cos \theta }}=2{\mbox{ arsen }}{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\end{matrix}}\right.$

$r'={\sqrt {r^{2}-d^{2}}}$

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$12+{24 \over \pi }{\mbox{arcsen}}\left[\tan 43^{\circ }25'42''\tan 23^{\circ }27'\right]=15,2324{\mbox{h}}\approx {\mbox{15h 14m}}$

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$12+{24 \over \pi }{\mbox{arcsen}}\left[\tan \alpha \tan \beta \right]$

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$f'(a)\ =\ {}^{o}\left({\frac {f(a+\epsilon )-f(a)}{\epsilon }}\right)$

$f'(a)\ =\ \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {f(a+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}$

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$10^{-n}\ =\ {\begin{matrix}\\\underbrace {0,000...000} \\{n{\mbox{ ceros }}}\end{matrix}}\ 1$

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$A{\mbox{ compacto}}\iff A\subseteq h(A)$

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$F={\frac {G\cdot m_{1}\cdot m_{2}}{d^{2}}}$

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$V(R)=\int _{0}^{R}S(r)dr$

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$K\subseteq \bigcup _{i\in I}A_{i}\ \Longrightarrow \ \left(\exists J\subseteq I,\ \#I<\infty ,\ K\subseteq \bigcup _{j\in J}A_{j}\right)$

Usando la topología restringida, la definición se escribe:

$K=\bigcup _{i\in I}A_{i}\ \Longrightarrow \ \left(\exists J\subseteq I,\ \#I<\infty ,\ K=\bigcup _{j\in J}A_{j}\right)$ con los $A_{i}\$ esta vez abiertos de K.

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Integrales

Es usual hoy en día definir las integrales a partir de las primitivas. Esto hace que se olvide a menudo que una integral corresponde a un área (algebraica) , y que ésta se puede calcular sin conocer primitivas. Menos mal, porque en algunos casos no existe primitiva (que se pueda expresar con funciones conocidas), mientras que el área se puede medir. El ejemplo más conocido es la función $f(x)=e^{-x^{2}}$ de mucha importancia en las estadísticas (está relacionada con la curva en "campana" de Gauss).

El método es entonces descomponer el área en pequeños rectángulos y sumar las extensiones de éstos, lo que da las sumas de Darboux:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\ =\ \lim _{n\to \infty }\ {\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(a+{\frac {k}{n}})\ =\ \lim _{n\to \infty }\ {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(a+{\frac {k}{n}})$ con f una función continua por trozos.

Luego, el análisis no estándar permite decir que : $\int _{a}^{b}f(x)dx\ =\ {}^{o}\left({\frac {1}{\omega }}\sum _{k=1}^{\omega }f(a+{\frac {k}{\omega }})\right)$

Un ejemplo: se descubrió muy antes de inventar las primitivas que la suma de los cubos era el cuadrado de la de los enteros: $\sum _{k=0}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=0}^{n}k\right)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Esto permite calcular la integral de x³:

$\int _{0}^{1}x^{3}dx\ =\ {}^{o}\left({\frac {1}{\omega }}\sum _{k=1}^{\omega }({\frac {k}{\omega }})^{3}\right)\ =\ {}^{o}\left({\frac {1}{\omega ^{4}}}\sum _{k=1}^{\omega }k^{3}\right)\ =\ \ {}^{o}\left({\frac {1}{\omega ^{4}}}\cdot {\frac {\omega ^{2}(\omega +1)^{2}}{4}}\right)\ =\ {\frac {1}{4}}\ {}^{o}\left({\frac {(\omega +1)^{2}}{\omega ^{2}}}\right)$

$={\frac {1}{4}}\ {}^{o}\left(1+{\frac {1}{\omega }}\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{4}}\ {}^{o}(1+{\begin{matrix}\\\underbrace {{\frac {2}{\omega }}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}\ } )\\{\approx 0}\end{matrix}}\ =\ {\frac {1}{4}}$

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