Usuario:MRS~eswiki/producto de convolución

versión personal - el artículo oficial de la enciclopedia se encuentra aquí

I Definición

Un producto de convolución, o convolución es una operación binaria denotada usualmente con una estrella * que permite construir a partir de dos funciones f y g una tercera: f*g.

Su forma más general es

$f*g\ (x)=\int _{E}f(t)g(i_{x}(t))d\mu (t)$

donde i es una involución que depende del parámetro x,

E una parte del dominio de f y g, μ una medida del mismo dominio, y tiene que ser invariable bajo la acción de las involuciones i_x. Lo más usual es tomar una medida uniforme (μ([a;b]= b - a) :dμ se escribe entonces dt en la integral, en el caso de funciones reales, en el caso de una función definida sobre los números enteros la integral corresponde a una suma (μ es la medida discreta uniforme :μ( {n}) = 1).

La función i es una involución porque su cuadrado ( i² = i º i) es la función idéntica (id), sin que i lo sea. En este sentido es una inversión.

Esta inversión es lo que distingue la convolución del producto escalar

$\int f(t)g(t)d\mu (t)$

presentes en los

mismos espacios.
Note también que es la presencia del parámetro x (en i_x) la responsable de que el resultado sea una función y no un escalar.

Las inversiones implicadas son esencialmente de dos clases:

1) Una sustracción:

$i_{x}(t)=x-t\quad$

Se verifica que

$i_{x}^{2}(t)=i_{x}(i_{x}(t))=i_{x}(x-t)=x-(x-t)=t.$

Luego i es una involución. Es la usada en el análisis de Fourier (cuyo próposito principal es descomponer funciones en suma de funciones trigonométricas), donde las funciones son en general periódicas de período 2π, la integral cubre el intervalo [0; 2π] (o cualquier intervalo de longitud 2π): $f*g\ (x)=\int _{0}^{2\pi }f(t)g(x-t)dt$ La convergencia de la integral de una función lo suficientemente regular (continua por trozos) está asegurada en un intervalo de longitud finita.

El análisis de Laplace utiliza la misma involución sobre funciones en general de la forma e^-λ·xP(x), con P un polinomio, λ > 0, sobre el intervalo [0; + ∞ [. Gracias a la exponencial decreciente, tampoco hay problemas de convergencia de la integral.

Aparece también en la multiplicación de los polinomios: el coeficiente de Xm de P(X)Q(X) es :

$\sum _{i=0}^{m}p_{i}q_{m-i}$

2) Una división:

$i_{x}(t)={\frac {x}{t}}$

Se verifica que

$i_{x}^{2}(t)=i_{x}(i_{x}(t))=i_{x}({\frac {x}{t}})={\frac {x}{\frac {x}{t}}}=t.$

Luego i es una involución.

Se utiliza en el campo de la aritmética bajo la forma

$f*g\ (n)=\sum _{d|n}f(d)g({\frac {n}{d}})$

como en la función de Möbius.

En los grupos, existe también el producto

$f*g\ (x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})d\mu (y)$

donde μ es una medida de Haar

en los grupos topológicos, o la suma usual en los grupos discretos finitos.

II Propiedades

Para establecer las propiedades de la convolución vamos a escoger la forma la más práctica:

$f*g\ (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)g(x-t)dt$

integral sobre ] -∞ + ∞ [, y descartamos de aquí en adelante

todo problema de convergencia.

conmutatividad: f*g = g*f
Prueba: Se introduce la variable u = x - t, luego du = - dt (x es constante), t = x - u. $f*g\ (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)g(x-t)dt=\int _{+\infty }^{-\infty }f(x-u)g(u)(-du)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)f(x-u)du=g*f\ (x)$

bilinealidad: Es una consecuencia de la bilinealidad del producto f·g en la integral, y de la linealidad de la integral. Sin embargo es fácil demostrarlo directamente: $(\lambda f+\mu g)*h\ (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(\lambda f+\mu g)(t)h(x-t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }(\lambda f(t)h(x-t)+\mu g(t)h(x-t))dt$
$=\lambda \int _{-\infty }^{\infty }f(t)h(x-t)dt+\mu \int _{-\infty }^{\infty }g(t)h(x-t))dt=\lambda f*h\ (x)+\mu g*h\ (x)$ Y eso funciona con cualquier x, λ, μ, f,g y h. Con la conmutatividad, la linealidad a la derecha deriva de la a la izquierda.
La bilinealidad nos autoriza ya calificar de producto la operación binaria *.

asociatividad: $f*(g*h)\ (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)(g*h)(x-t)dt=\int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)\int _{z=-\infty }^{+\infty }g(z)h(x-t-z)dzdt$
$=\int _{t=-\infty }^{+\infty }\int _{u=-\infty }^{+\infty }f(t)g(z)h(x-t-z)dzdt=\int _{t=-\infty }^{+\infty }\int _{u=-\infty }^{+\infty }f(t)g(u-t)h(x-u)dudt$ (se ha tomado u = t + z ( y du = dz) en la integral interior). $(f*g)*h\ (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }(f*g)(u)h(x-u)du=\int _{u=-\infty }^{+\infty }\int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)g(u-t)h(x-u)dtdu$

Por el teorema de Fubini (generalizado) se puede intercambiar las integrales y se obtiene la igualdad.
El próximo paso natural, cuando se estudia un producto, es hallar su elemento neutro; lo notamos δ.
$f(x)=\delta *f\ (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(x-t)dt$
La « función » que realiza siempre esta igualdad es la distribución de Dirac en 0 y ... no es una función.

En el caso discreto, con por ejemplo

$f*g\ (m)=\sum _{i=0}^{n}f(i)g(m-i)$

el neutro es la función nula por todas

partes excepto en cero, donde vale 1. Como la distribución de Dirac, tiene toda su masa (que vale 1) concentrada en cero.
No hay expresión muy sencilla del elemento inverso en el caso general.

Autor: M.Romero Schmidtke