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Aplicación del péndulo de Káter. Medida de la aceleración de la gravedad

Medidas experimentales

Figura 5: Descripción del péndulo de Kater empleado en las medidas.

Se han realizado medidas experimentales con varios péndulos de Kater de los que se emplean en los Laboratorios docentes (figura 4) de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación de la Universidad Politécnica de Madrid (vídeo 2). Como se observa en la figura, consta de una varilla, dos pesas y dos cuchillas. Las cuchillas se apoyan en un soporte que no aparece en la figura. El proceso experimental es el empleado habitualmente para determinar la aceleración de la gravedad con el péndulo reversible de Kater. Después de una serie de medidas previas de aproximación se sitúan las cuchillas en dos posiciones fijas llamadas O y O' (figura 5). La pesa fija se mantiene en la posición indicada y la pesa móvil recorre el espacio comprendido entre la cuchilla O y el extremo de la varilla y se toma como variable independiente la distancia de la pesa móvil al extremo de la varilla. Cuando el péndulo se hace oscilar en torno al eje O los periodos obtenidos se denominan T. Cuando el péndulo se hace oscilar en torno al eje O' los periodos obtenidos se denominan T (vídeo 2). La finalidad de la doble medida, aprovechando la reversibilidad del péndulo, es la obtención dentro de la precisión experimental, de la igualdad de los períodos T y T. Según se observa en la ecuación 7 y en las figura 3.1 y 3.2, la expresión T(h) tiene para el mismo periodo hasta cuatro posiciones del eje de oscilación. De todas las series de resultados obtenidos, se han seleccionado los más representativos y se muestran en las Tablas 1 y 2.

Elaboración de resultados

En las Tablas 1 y 2 figuran los tiempos medidos para veinte oscilaciones en cada una de las posiciones de la masa móvil , para una oscilación del péndulo respecto de O y para su oscilación respecto de O'. Se toma como variable independiente la posición de la masa m₁ medida con respecto al extremo superior de la varilla (figura 5) y que llamaremos "d".

TABLA 1.Periodos de Oscilación alrededor del eje que pasa por (O)

$d$ (cm)	$t_{1}$(s)	$t_{2}$(s)	$t$(s)	Tiempo Medio (s)	$T$(s)
65	31.50	31.67	31.63	31.600000	1.580000
64	30.72	30.90	30.78	30.800000	1.540000
63	30.06	30.22	30.06	30.112000	1.505600
62	29.50	29.66	28.83	29.330000	1.466500
61	28.58	28.75	29.05	28.793200	1.439660
60	28.01	27.97	28.60	28.193200	1.409660
59	27.70	27.88	27.90	27.826660	1.391333
58	26.81	27.00	27.04	26.950000	1.347500
57	26.60	26.53	26.50	26.543320	1.327166

TABLA 2.Periodos de Oscilación alrededor del eje que pasa por (O´)

$d$ (cm)	$t_{1}$(s)	$t_{2}$(s)	$t_{3}$(s)	Tiempo Medio (s)	$T$(s)
65	28.12	28.31	28.23	28.220000	1.411000
64	27.88	27.97	27.75	27.866000	1.293300
63	27.78	27.82	27.78	27.793200	1.389660
62	27.38	27.26	27.62	27.420000	1.371000
61	27.20	27.16	27.24	27.200000	1.360000
60	27.06	27.10	27.09	27.083320	1.354166
59	26.78	26.88	26.84	26.833320	1.341666
58	26.69	26.39	26.84	26.640000	1.332000
57	26.30	26.50	26.40	26.400000	1.320000
56	26.13	26.28	26.31	26.240000	1.312000
55	26.00	26.19	26.00	26.062000	1.303100
54	25.84	25.90	25.84	25.860000	1.293000
53	25.50	25.72	25.88	25.700000	1.285000
52	25.44	25.33	25.55	25.440000	1.272000

Con los periodos obtenidos se ha realizado la Tabla 3, donde se expresa la diferencia de periodos $\Delta T$.

TABLA 3. Las dos primeras columnas representan los periodos respecto de O y O´

en función de la distancia d y la tercera la diferencia de éstos.

$d$ (cm)	$T_{1}$(s)	$T_{2}$(s)	$\Delta T$(s)
65	1.580000	1.411000	0.169000
64	1.540000	1.393300	0.146700
63	1.505600	1.389660	0.115940
62	1.466500	1.371000	0.095500
61	1.439660	1.360000	0.079660
60	1.409660	1.354166	0.055494
59	1.391333	1.341666	0.049667
58	1.347500	1.332000	0.015500
57	1.327166	1.320000	0.007166
56	1.301600	1.312000	-0.010400
55	1.278166	1.303100	-0.024934
54	1.260000	1.293000	-0.033000
53	1.244000	1.285000	-0.041000
52	1.227160	1.272000	-0.044840

Con los valores de la Tabla 3, se construye la figura 6 (Periodo en función de la posición de la masa), donde cada uno de los dos periodos T y T’ da origen a una curva, la T = f(h) y la T` = f(h) (ecuación 7 y figuras 3.1 y 3.2). El corte de ambas determina el periodo común. En la figura aparece como el punto P_T.

De la Tabla 3 se deduce que el periodo común corresponde a una situación próxima a la posición d = 57 cm.

Se ha realizado un ajuste de los puntos experimentales por sendos polinomios de orden 3. (se ha observado que un ajuste con un polinomio de orden dos, proporciona una menor resolución en el ajuste de los puntos experimentales):

Figura 6: Puntos experimentales de T y T' con las curvas ajustadas por un polinomio de orden 3.

T(d) = 0,0000163415946798394 d² - 0,00274725618499305 d³ + 0,163499411710926 d - 2,09807233117044

con un índice de correlación r² = 0,995285

T'(d) = -0,0000111237145208365 d³ + 0,00280949349181331 d² - 0,187033148029078 d + 4,91958674027195

con un índice de correlación r² = 0,986184

En la figura 6 se observa que el corte de las dos curvas determina el periodo común, que vale:

To = 1,318832623 s

así como la posición exacta de la masa variable m1 en el corte (56,67901648 cm).

Los errores correspondientes para los dos periodos, obtenidos a partir del error cuadrático medio, serán

(20)$\varepsilon \ =\delta \ T=0,030567s$

(21)$\varepsilon \ =\delta \ T'=0,011566s$

Y la media de ambos,

(22)$\delta \ T_{0}=0,0210665s$

Corregida con el factor de corrección (t de student para n=14, f = 1,040)

(23)$\varepsilon _{0}=\delta \ T_{0}=0,02190916$

Obteniendo un valor final para el periodo común:

(24)$T_{0}=1,32\pm \ 0,02s$

Determinación de la aceleración de la gravedad

La longitud equivalente $\lambda \$ (figura 4) es O' - O, vale,

(25)$\lambda \ =430\pm \ 1\ mm$

por lo tanto

(26)$g=4\pi ^{2}{43 \over (1,31883262)^{2}}=975,99779\ cm/s^{2}$

El error del cálculo se obtiene por medio de la propagación de errores:

(27)$\Delta \ g=g({\Delta \ l \over l}\ +\ 2{\Delta \ T \over T})=34,696776\;cm/s^{2}$

El resultado final para la aceleración de la gravedad en Madrid es, por tanto:

(28)$g=9,8\pm \ 0,3\ m/s^{2}$

Son resultados obtenidos con péndulos pequeños (66 cm de longitud) para uso docente en la universidad.

Comparación final con Barraquer (1877) y Vieira (1989)

Medidas pioneras en Madrid: Barraquer 1877

Figura 7: Péndulo de Repsold & Söhne usado por Barraquer

Si bien el primero en medir la aceleración de la gravedad en Madrid de manera rigurosa con un método pendular fue Gabriel Císcar en 1801, la referencia internacional más citada y reconocida es debida a J. Barraquer. A Don Joaquín Barraquer, coronel de ingenieros, le encargaron, entre otras muchas cosas, la tarea de determinar la gravedad en Madrid en el período 1870-1890. Primero utilizó un único péndulo de inversión de Repsold que poseía el Instituto Geográfico y Estadístico, fundado en 1870, y realizó medidas en los antiguos locales del Instituto en la calle Jorge Juan número 8 de Madrid durante el año 1877. Posteriormente y con cuatro péndulos de inversión fabricados de nuevo por Repsold realizó la primera determinación absoluta de gravedad y utilizó para ello dos estaciones, el edificio ocupado por el Instituto Geográfico y el Real Observatorio Astronómico. La longitud del péndulo fue corroborada por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, de París, y los tiempos contrastados con el reloj magistral del Observatorio Astronómico de Madrid.

En la Biblioteca del Real Observatorio de Madrid se encuentra el péndulo utilizado por Barraquer (Figura 7). Sus características son las siguientes:

• Nombre: Péndulo reversible.
• Área: Geofísica.
• Firmado: Repsold & Söhne. Hamburgo. 1878.
• Dimensiones: Altura de 90 cm.
• Características técnicas: Péndulo simétrico de 73 cm de longitud y dotado de cuchillas fijas e intercambiables.

En el pilar sobre el que se asienta este instrumento (Biblioteca del Real Observatorio de Madrid) figura una placa con la inscripción:"Fuerza Gravedad G = 9m, 800156 ± 0m, 000016, determinada por D. Joaquín Barraquer y Rovira con los cuatro péndulos de inversión en los años 1882-1883".

Comparación de resultados

Para tener referencias adecuadas de medidas de la aceleración de la gravedad en Madrid con las que poder comparar se muestra una medida, la obtenida con un gravímetro de caída libre con el que se obtienen medidas absolutas de la aceleración de la gravedad, con precisiones del orden de 10^-8 m/s². En 1989, Mäkinen y Vieira ​ con el JILAG-5 obtuvieron en el Valle de los Caídos un valor de

g = 979,88492699 ± 0,00000120 cm/s2

Finalmente recordamos las medidas pioneras de la aceleración de la gravedad g en Madrid, obtenidas por Barraquer (2002) ​ con un péndulo reversible, obteniendo ya de manera muy precisa en 1877 un valor de

g = 980,0080 ± 0,0027 cm/s2

Vídeos

Vídeo 1: Funcionamiento del Péndulo de Kater situado en la ETSICCP-UPM

Vídeo 2: Montaje de un Péndulo de Kater en los laboratorios de la ETSIT-UPM