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Deformada de la viga en el caso cuasiestático

Viga genérica sometida a fuerzas puntuales y distribuidas y a momentos puntuales. Se detalla un elemento diferencial en una posición $x$ arbitraria, para el que se debe estudiar el equilibrio de fuerzas y momentos.

Interesa a continuación encontrar el campo de desplazamientos transversales $w=w(x)$, que nos da la forma de la viga deformada, en términos de las acciones externas, que pueden ser fuerzas perpendiculares al eje de la viga (puntuales o distribuidas), así como pares concentrados. Eventualmente, podría ser necesario también obtener el giro de la sección transversal $\theta =\theta (x)$. Comenzaremos planteando las ecuaciones de equilibrio para un elemento diferencial de viga como el que se muestra en la figura, en la que además se explicita la convención de signos que se utilizará en este desarrollo.

Del equilibrio de fuerzas en dirección $z$ para el elemento diferencial, se obtiene:

${\frac {dQ}{dx}}=q\left(x\right)$

Del equilibrio de momentos, se obtiene:

${\frac {dM}{dx}}=-Q\left(x\right)$

Por otra parte, combinando la expresión para el momento flector $M$ obtenida en el apartado anterior, con la expresión para $\theta =\theta (x)$ proporcionada más arriba (en el apartado sobre Campo de Desplazamientos) y utilizando $\gamma _{xz}=-\phi (x)$, se obtiene:

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {M\left(x\right)}{EI}}+{\frac {d\gamma _{xz}}{dx}}\qquad$ donde, de lo visto en el apartado anterior, $\qquad \gamma _{xz}={\frac {Q\left(x\right)}{\alpha AG}}$

Alternativa 1

Si se combina las dos expresiones anteriores y se considera, además, el equilibrio de fuerzas verticales, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden en incógnita $w=w(x)$, que puede resolverse por doble integración si se conoce dos condiciones de contorno y si se conoce la distribución del momento flector $M=M(x)$. (Se recuerda que la distribución de $q=q(x)$ es un dato del problema). Esta ecuación es:

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {M\left(x\right)}{EI_{y}}}+{\frac {q\left(x\right)}{\alpha AG}}$

Alternativa 2

Si se deriva con respecto a $x$ la ecuación de equilibrio de momentos y se considera la relación $M=EI_{y}d\theta /dx$ obtenida en el apartado sobre Fuerzas Internas, se obtiene:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(EI_{y}{\frac {d\theta }{dx}}\right)=-q\left(x\right)\qquad$ donde :$\qquad {\frac {d\theta }{dx}}={\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d\phi }{dx}}={\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}-{\frac {d\gamma _{xz}}{dx}}$

Si se combina estas dos expresiones considerando nuevamente la relación entre $\gamma _{xz}$ y el cortante $Q$ y asumiendo sección transversal constante, se obtiene una ecuación diferencial en la que aparece la derivada de la fuerza cortante $Q$ con respecto a $x$. Esta derivada se puede eliminar usando el equilibrio de fuerzas expresado más arriba, para obtener una ecuación diferencial de cuarto orden en incógnita $w=w(x)$ que podrá resolverse en términos de la carga distribuida $q=q(x)$ si se conoce cuatro condiciones de contorno. Esta ecuación es:

${\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=-{\frac {q\left(x\right)}{EI_{y}}}+{\frac {1}{\alpha AG}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}$

Alternativa 3

En forma alternativa, es posible encontrar la deformada de la viga resolviendo en forma escalonada dos ecuaciones diferenciales de primer orden: la primera de ellas es simplemente la relación $M=EI_{y}d\theta /dx$ ya mencionada, mientras que la segunda proviene de reescribir la expresión para $\theta (x)$ dada en el apartado sobre Campo de Desplazamientos, teniendo en consideración (1), la relación $\gamma _{xz}=-\phi (x)$; (2), la relación entre $\gamma _{xz}$ y el cortante $Q$ y (3), la ecuación de equilibrio de momentos. Las dos ecuaciones diferenciales mencionadas son las siguientes:

${\frac {d\theta }{dx}}={\frac {M(x)}{EI_{y}}}$

${\frac {dw}{dx}}=\theta (x)+{\frac {1}{\alpha AG}}Q(x)$

La primera ecuación puede resolverse para $\theta (x)$ en términos del momento flector si se conoce una condición de contorno para el giro de la sección transversal de la viga. Una vez hallado $\theta (x)$ podrá resolverse la segunda ecuación para $w(x)$ en términos del cortante si se conoce una condición de contorno para la deformada.