Usuario:Geometrasselva

Esta es una wnos del I.F.D N° 17 A modo de prueba en la cátedra de Tecnología de la Información y la Comunicación, de tercer año, del Profesorado de Nivel Secundario en Matemática. deja o no deja modificar

POLIEDROS “No entre aquí quien no sepa geometría”

Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde antiguo se ha concedido al conocimiento de la Geometría. El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía: “Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”. En esta unidad vas a iniciar el estudio de unos cuerpos geométricos omnipresentes en la Naturaleza y en las obras de los humanos: los poliedros. Haremos un estudio más profundo de los más habituales y sencillos (los poliedros regulares) y acabaremos con los cuerpos de revolución (cilindro, cono y esfera). Te vendrá bien recordar los polígonos regulares y sus aplicaciones en teselados y cubrimientos del plano. Esta unidad necesitará de tu trabajo manual, para el cual utilizaremos cartulinas, tijeras, pegamento, hojas de polígonos troquelados, varillas, plastilina, polydrón, plástico poroso (porespan), etc. Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. En Geometría se estudian sus formas y medidas (Geometría sólida o espacial). Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad 1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos? b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características. c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros. Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Ángulos diedros

Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Las caras del diedro son los semiplanos que lo determinan y la recta común a las dos caras se llama arista.

Si tenemos tres o más planos que se cortan mediante rectas que concurren en un mismo punto, la región de espacio que limitan se llama ángulo poliedro y al punto común se le llama vértice. Según el número de caras que formen el ángulo poliedro, estos reciben un nombre diferente. Así, si son tres planos se le llama triedro, si cuatro, tetraedro, si cinco, pentaedro, etc.

¿Encuentras algún triedro en tu aula? ¿Se te ocurre algún lugar donde aparezcan tetraedros?

Actividad

2. Observa los siguientes poliedros.

Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?. Sin embargo, los otros dos sí. A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos. Actividad

3. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo? d. ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo?

Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

FÓRMULA DE EULER

Actividad

4. En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A? Inténtalo con otros poliedros.

En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2 Esta es la fórmula de Euler

Actividades

5. En la tabla siguiente se dan algunos datos de poliedros convexos. Complétala e intenta dibujar alguno de ellos. Poliedro C V A 1 4 6 2 8 12 3 5 6 6. Un poliedro tiene 7 caras. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros. ¿Cuántas aristas tiene? ¿Cuántos vértices tiene?

Nota: Observa que cada arista se forma uniendo dos lados de dos polígonos, lo cual nos permite relacionar el número total de lados con el de aristas. 7. Un poliedro tiene dos caras hexagonales y todas las demás son triángulos. Llamamos t al número de caras triangulares. a) Escribe una expresión para el número de aristas del poliedro. b) Usa la fórmula de Euler para una expresión del número de vértices.

Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal? ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior? Actividad

8. Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:

- El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. - Las caras de un poliedro son todas iguales. - Hay poliedros con tres caras. - En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. - Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. - Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. - El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. - El cilindro es un poliedro.

POLIEDROS REGULARES

Entre todos los poliedros que existen hay unos especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real: los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro(El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final). A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.

Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden. 9. Actividad 10. Teniendo en cuenta las dos condiciones básicas para que se forme un poliedro: - En un vértice de un ángulo poliédrico han de concurrir tres o más caras. - La suma de los ángulos de las caras de un ángulo poliédrico ha de ser menor que 360 grados. Razona por qué sólo hay 5 poliedros regulares.

Algebraicamente también se puede deducir que sólo existen 5 poliedros regulares. En un poliedro regular, llamamos C a su número de caras, n al número de lados de cada cara, V a su número de vértices, A el de aristas y m al número de aristas concurrentes en un mismo vértice.

Se verificarán, por tanto, las igualdades: n.C = 2A; m.V = 2A.

Por tanto: m.V = n.C. Es decir:

Sustituyendo en la fórmula de Euler:  . Multiplicando por 2m:   

2mC + 2nC = mnC + 4mC. Despejando C:

Como el mínimo número de lados de un polígono es tres y el mínimo número de aristas que concurren en un vértice de un poliedro es tres, se pueden presentar los siguientes casos:

1.- Si n = 3 y:

a) m = 3, entonces C = 4 y obtenemos el tetraedro regular.

b) m = 4, entonces C = 8 y obtenemos el octaedro regular.

c) m = 5, entonces C = 20 y obtenemos el icosaedro regular.

d) m = 6, entonces C = 24/0 y no se obtiene ningún poliedro.

2.- Si n = 4 y:

a) m = 3, entonces C = 6 y obtenemos el hexaedro regular o cubo.

b) m = 4, entonces C = 16/0 y no se obtiene ningún poliedro.

3.- Si n = 5 y: a) m = 3, entonces C = 12 y obtenemos el dodecaedro regular.

b) m = 4, entonces C = -8 y no obtenemos ningún poliedro.

4.- Si n = 6 y:

a) m = 3, entonces C = 12/0 y no obtenemos ningún poliedro.

Actividad 11. Con las hojas de polígonos troquelados, o con el polydrón, construye los cinco sólidos platónicos y comprueba en ellos la fórmula de Euler.

DESARROLLO DE POLIEDROS

Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro.

Actividades 12. Intenta dibujar dos desarrollos diferentes del tetraedro. ¿Crees que la figura adjunta es el desarrollo de un tetraedro?

13. En la figura siguiente tienes pintado un desarrollo de cada sólido platónico. Partiendo de ellos, intenta construirlos con el polydrón o con las hojas de polígonos troquelados. (Si no dispones de estas herramientas, entonces dibújalos igual en una cartulina, recórtalos y constrúyelos. ¡Ah! ¡No te olvides de las pestañas para poder pegar bien las aristas!.

Habrás podido comprobar que, partiendo de un desarrollo del poliedro, es más sencillo construirlos.

Actividad 14. Con un polydrón o con hojas de polígonos troquelados, intenta construir los poliedros cuyos desarrollos son los siguientes: