Usuario:Dcorradini
05/02/06
Teorema de Collatz
Algoritmo de Syracuse _
A continuación adjunto el problema y seguido la demostración que es valido para todo número natural. Despues de la demostración surgen varios conceptos que se desprenden de la demostración.
Este es un extracto de la publicación en el diario Página 12, Bs As, Argentina, tambien se encuentra en el libro de Adrian Paenza, "Matematicas estas ahi?", si bien no solicite expresa autorización para reproducir este texto, tengo entendido que Paenza libero el coprigh de este libro.
El Algoritmo de Syracuse
Por Adrián Paenza
Vamos a construir juntos una sucesión de números naturales (enteros positivos). La regla es la siguiente: empezamos por uno cualquiera. Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el número 7. Ese va a ser el primer elemento de nuestra sucesión.
Para generar el segundo elemento, hacemos lo siguiente: si el que elegimos primero es par, lo dividimos por dos. En cambio, si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1.
En nuestro ejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que multiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el número 22, ya que 3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22. Ahora bien: tenemos entonces los primeros dos elementos de nuestra sucesión: {7,22}.
Para generar el tercer número de la sucesión, como el 22 es un número par,lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Ahora tenemos {7,22,11}. Como 11 es impar, la regla dice "multiplíquelo por 3 y súmele 1". O sea, 34. Se tiene {7,22,11,34}. Luego, como 34 es par, el próximo elemento de la sucesión es 17. Y el siguiente es 52. Luego 26. Y después 13. Y sigue 40. Luego 20. Hasta acá tenemos {7,22,11,34,17,52,26,13,40,20}.
Seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3 y sumando 1 a los impares: {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2,1}.
Y en el número 1, paramos.
Lo invito ahora a que elijamos cualquier otro número para empezar, digamos el 24. La sucesión que se tiene es: {24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}. Si ahora empezamos con el 100, se sigue: {100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29,88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.
Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que elegí terminan en el número 1. En realidad, aunque no lo dije antes, al llegar al número 1 el proceso se detiene, porque si uno siguiera, entraría en un lazo, ya que del 1 pasaría al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vez al 1. Por eso es que cuando al construir la sucesión llegamos al número uno, detenemos el proceso.
Bien. Hasta hoy, enero del 2006, en todos los ejemplos conocidos siempre se termina la sucesión en el número 1. Pero, no se tiene ninguna demostración que pruebe que el resultado es válido para cualquier número. Este problema se conoce con el nombre del "Problema 3x + 1", o también como el "Problema de Collatz", o "Problema de Syracuse", o "Problema de Kakutani" o "Algoritmo de Hasse" o "Problema de Ulam".
Como ven, tiene muchos nombres, pero ninguna solución. Es una buenaoportunidad para empezar. Con todo, así como escribí el otro día respecto de la Conjetura de Goldbach, es poco probable que a un "lego" se le ocurra cómo resolver el problema general. Pero, en la historia de la humanidad hay múltiples ejemplos de personas que tuvieron el ingenio suficiente para superar dificultades para la que se suponía que no estaban preparadas. Y lo hicieron, casi sin historia en el área ni herramientas sofisticadas.
Demostración en forma sencilla que la formula 3x+1 es valido para todo numero entero positivo
Terminología:
Impar: x Par: y
Nº: Números naturales positivos
Impar: 2n-1 Par: 2n
A) Primero quiero demostrar que la ecuación 3x+1 da como resultado siempre un Nº par.
• 3 x + 1 = y = 2n • 3(2n-1)+1 • 6n – 2
- 2 (3n-1) (tiene la forma 2 n, por lo tanto es par para cualquier Nº Natural positivo)
B) Segundo quiero demostrar que la ecuación 3x+1 es una sucesión convergente al Nº 4, tenemos como surge en A lo siguiente:
2 (3n - 1) =
2 [3n1-1, 3 n2-1, 3 n3-1,…….3nn -1]
Lim 2 ((3n1-1), (3 n2-1), (3 n3-1),…….(3nn -1)] = 4
N (n1…nn)==> 1
C) Tercero, demuestro que un Nº par que se divide por 2 es una sucesión convergente al Nº 1.
Y = 2n, por las reglas impuestas, tenemos que a todo N° par se lo debe dividir por 2
Y= 2n/2 = [2 (N1, N2, N3……Nn) / 2] = (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2, ……Nn/2)
Lim. (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2, ……Nn/2) = 1
N (n1 …nn) ==> 2
Complementando a esto, tenemos el siguiente teorema, que se desprende de las propiedad de los números naturales=
[ (2n1/2) < (2n2/2) < (2n3/2) < ……..< (2nn/2) ]
Por lo tanto tenemos que la sucesión de cualquier N° Natural positivo, donde se aplique las dos reglas del algoritmo de Syracuse/Collatz, siempre que sea un N° positivo so obtendra un N° par y todo N° par se dividira por 2, llegando siempre al N° 1 (después de sucesivas factorizaciones del N° par), a partir de este momento se repite el ciclo por la ecuación 3x+1.
Diego Corradini Buenos Aires Argentina
Ademas de lo anterior se desprende la siguiente formula:
n x n + n = 2p, donde n son cualquier N° impar, es decir multiplicando dos numeros impares, y sumando otro impar, da siempre como resultado un número par.
La demostración es muy sencilla, si vemos el primer paso en la demostración de Collatz, de esa misma menera queda demostrada la anterior formula.
Mas alla de la demostración, me pregunto hasta donde tiene significado, es decir descubri que todos los números naturales enteros son en realidad numeros pares.
Si me permiten ir mas lejos, con lo anterior demostrado (otro día agrego la demostración, que repito es muy fácil), en realidad hasta el cero es un numero par, porque?, porque tambien al igual que los numeros impares lo puedo escribir de la forma "2n", donde n=0, por lo tanto es cero.-
Me queda la pregunta en el tintero:¿qué significa que todos los numeros enteros son pares?, y porque no impares?, es decir ser par tiene un significado especial en matematicas?
Seguire pensando, despues agrego mis reflexiones.-
Saludos cordiales desde Buenos Aires, Argentina
English Version
Algorithm of Collatz _ Demonstration 05/02/06
Terminology:
Odd: x Even: and
Nº: Positive natural numbers
Odd: 2n-1 Even: 2n
To) First I want to demonstrate that the equation 3x+1 give an even Nº as a result always.
" 3 x + 1 = and = 2n " 3(2n-1)+1 " 6n - 2 Ò 2 (3n-1) (he/she has the form 2 n, therefore it is even for any positive Natural Nº)
B) Second I want to demonstrate that the equation 3x+1 are a convergent succession to the Nº 4, we have like it arises in TO the following thing:
2 (3N - 1) Ò 2 [3N1-1, 3 N2-1, 3 N3-1,…… .3NN -1]
Lim 2 [(3n1-1), (3 n2-1), (3 n3-1),……. (3nn -1)] = 4 N (N1…NN)Ò1
C) Third, I demonstrate that an even Nº that is divided by 2 is a convergent succession to the Nº 1.
And = 2n, for the imposed rules, we have that to all even N° it should divide it to him for 2
AND = 2N/2 Ò [2 (N1, N2, N3……NN) / 2] Ò (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2,… …NN/2)
Lim. (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2,… …NN/2)
N (N1 …NN) Ò 2
== 1
Supplementing this, we have the following theorem that comes off of the property of the natural numbers =
[(2n1/2) <(2n2/2) <(2n3/2) <…….. <(2nn/2)]
Therefore we have that the succession of any positive Natural N°, where it is applied the two rules of the algorithm of Syracuse, whenever it is a N° positive so he/she will obtain an even N° and all even N° it will be divided by 2, always arriving to the N° 1 (after successive factorings of the even N°), starting from this moment he/she repeats the cycle for the equation 3x+1.
Diego Corradini, buenos aires, argentina
Ayuda: Una pequeña nota mía (usuario Telecolo). Si le aplicas la regla al 0, te queda que es impar porque 3.(0)+1=1 y está bien que de 1. Si fuera par, tendria que dar uno, pero 2 por 0 da 0.