Traza (álgebra lineal)

Traza de una matriz de 4×4.

En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

Es decir,

$\operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

donde a_ij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A.

Propiedades

• La traza es un operador lineal:

$\operatorname {tr} \left(A+B\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)+\operatorname {tr} \left(B\right)$

$\operatorname {tr} \left(rA\right)=r\left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)$

siendo $A\,$ y $B\,$ matrices cuadradas, y $r\,$ un escalar.

• Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,

$\operatorname {tr} \left(A^{T}\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)$

• Si $A\,$ es una matriz de $n\times m$ y $B\,$ una matriz de $m\times n$, entonces

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\operatorname {tr} \left(BA\right)$

Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices $A$ y $B$ viene dado por

$[AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}$

con lo cual, podemos expresar la traza de $AB$ como

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}$

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio

$\operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[AB]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)$

Notar que $AB\,$ es una matriz cuadrada de $n\times n$, mientras que $BA\,$ es una matriz cuadrada de $m\times m$

• Si $A\,$ es una matriz cuadrada de orden $n\,$ con $n\,$ autovalores reales o complejos (incluyendo multiplicidad): $\lambda _{1},...,\lambda _{n}\,$ entonces:

$\operatorname {tr} \left(A\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}$

Esto puede verse fácilmente teniendo en cuenta la correspondiente forma canónica de Jordan de la aplicación lineal asociada a la matriz. Puesto que la traza de una matriz y de la forma de Jordan asociada son iguales por ser la traza un invariante algebraico, la traza de la matriz es la suma de los elementos de la diagonal de la forma de Jordan, es decir, la suma de autovalores.