Transformada de Gelfand

La transformada de Gelfand, llamada así en honor del matemático Israel Gelfand, es una aplicación sobre un álgebra de Banach conmutativo y unitario que da lugar a funciones continuas sobre el espectro del álgebra. Esta función es importante en análisis harmónico abstracto y la base de la Teoría de Gelfand.

Espectro de un álgebra de Banach

Dado un álgebra de Banach conmutativo y unitario ${\mathcal {A}}$, llamamos funcional multiplicativo en ${\mathcal {A}}$ a todo homomorfismo no nulo de ${\mathcal {A}}$ a $\mathbb {C}$. Al conjunto de todos los funcionales multiplicativos en ${\mathcal {A}}$ se le denomina espectro de ${\mathcal {A}}$ ($\sigma ({\mathcal {A}})$).

Definición

Para cada $x\in {\mathcal {A}}$, definimos la función ${\widehat {x}}:\sigma ({\mathcal {A}})\rightarrow \mathbb {C}$ dada por ${\widehat {x}}(h)=h(x)$. Esta función es siempre en continua, ya que la topología en $\sigma ({\mathcal {A}})$ es la topología de la convergencia puntual en ${\mathcal {A}}$.

A la aplicación $\Gamma :{\mathcal {A}}\rightarrow C(\sigma ({\mathcal {A}}))$ que lleva $x$ a ${\widehat {x}}$ se le denomina transformada de Gelfand en ${\mathcal {A}}$.

Propiedades

1. La transformada de Gelfand es un homomorfismo y ${\widehat {e}}$ es la función constantemente $1$ (donde $e$ es el elemento unitario del álgebra).
2. Un elemento del álgebra es invertible si y solo si su imagen a través de la transformada de Gelfand es una función que nunca se anula.
3. El rango de $\Gamma (x)$ coincide con el espectro de $x$.$\|{\widehat {x}}\|_{sup}\leq \|x\|$.

Referencias

Folland, Gerald B. (1995). «Banach Algebras and Spectral Theory». A Course in Abstract Harmonic Analysis (en inglés). CRC Press. pp. 5-7.