Teorema del seno

Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces ${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}$

Demostración

wini de poo mato a picachu de un impactrueno...xD

$\operatorname {sen} \,A=\operatorname {sen} \,P={\frac {BC}{BP}}={\frac {a}{2R}}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}=2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces: ${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}=2R.$

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

$b=qa+c-2abcosb$== Aplicación == El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Relación con el área del triángulo

Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b, de modo que se cumple:

$Area={\frac {ah}{2}}={\frac {ab\,\operatorname {sen} \,C}{2}}$.

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

$Area={\frac {ah}{2}}={\frac {ab\,\operatorname {sen} \,C}{2}}={\frac {abc}{4R}}$.

Véase también

• Trigonometría

• • Función trigonométrica

• • • Trigonometría esférica
      • Triangulación
• Geometría del triángulo
  • Teorema del coseno