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Revisión del 15:53 11 ene 2012

Archivo:Triángulo del electrodomestico nos dice que taguas fue formado por un paraguas.svg

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la misma.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

$b^{2}\ =\ c\;m$

$a^{2}\ =\ c\;n$

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

Todos tienen un ángulo recto.
Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

{\frac {b}{m}}={\frac {c}{b}}

de dónde,

b^{2}\ =\ cm

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

{\frac {a}{n}}={\frac {c}{a}}

a^{2}\ =\ cn

y el teorema queda demostrado.

== Corolario ==

(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.”

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

$b^{2}\ =\ c\;m\;\;\;\;;\;\;\;\;a^{2}\ =\ c\;n$

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

$m={\frac {b^{2}}{c}}\;\;\;\;;\;\;\;\;n={\frac {a^{2}}{c}}$

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Véase también

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+[[imagen:Triángulo del electrodomestico nos dice que taguas fue formado por un paraguas.svg|thumb|right|300px|'''''Figura 1''''' - Los segmentos '''''m''''' y '''''n''''' son las respectivas proyecciones de los lados '''''b''''' y '''''a''''' sobre la hipotenusa '''''c''''', siendo '''''h''''' la altura correspondiente a la hipotenusa.]]
-En [[matemáticas]], el teorema de "'''la altura de un [[triángulo rectángulo]]'''" establece que:
+El '''teorema del cateto''' establece lo siguiente:
-{{Teorema|1=En cualquier triángulo '''rectángulo''' la altura relativa a la [[hipotenusa]] es la [[media proporcional]] entre las [[proyección ortogonal|proyecciones ortogonales]] de los catetos sobre la hipotenusa.|título= Teorema de la altura (''forma'' 1)}}
+{{teorema
+|1= En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la misma.|título= Teorema del cateto}}
+Este teorema (''véase '''Figura 1''''') puede expresarse matemáticamente —''para cada uno de sus dos catetos''— como:
+{{ecuación|<math>b^2 \ =\ c\; m</math>}}
+{{ecuación|<math>a^2 \ =\ c\; n</math>}}
+Donde '''m''' y '''n''' son, respectivamente, las ''proyecciones'' de los catetos '''b''' y '''a''' sobre la [[hipotenusa]] '''c'''.
 == Demostración ==
-La altura del triángulo '''rectángulo''' ABC (véase '''''Figura 1''''') lo divide en dos [[triángulos semejantes|triángulos rectángulos semejantes]], de forma que
-:<math>\frac{h}{n} = \frac{m}{h}</math>
-[[Archivo:Triângulo retângulo.svg|thumb|right|240px|'''''Figura 1''''': Teorema de la altura.]]
+Sea el [[triángulo]] Δ'''ABC''' rectángulo en '''C''', dispuesto de modo que su base es la hipotenusa '''c'''. La altura '''h''' determina los segmentos '''m''' y '''n''', que son, respectivamente, las ''proyecciones'' de los catetos '''b''' y '''a''' sobre la hipotenusa.
-Multiplicando los dos miembros de la igualdad por <math>hn</math> se tiene:
-:<math>h^2=m\,n \,</math>
-por lo que
-{{ecuación|<math>h=\sqrt{m\,n}</math>|1|left}}
-== Otra forma del mismo teorema ==
-La altura '''''h''''' correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase '''''Figura 1''''') también puede obtenerse reemplazando a los valores '''''m''''' y '''''n''''' de la ecuación {{Eqnref|1}} del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el [[teorema del cateto]].
+Los triángulos rectángulos Δ'''ABC''', Δ'''ACH''' y Δ'''BCH''' tienen iguales sus [[ángulo]]s, y por lo tanto son [[Semejanza (geometría)|semejantes]]:
-::<math>m=\frac{b^2}{a} \,</math>&nbsp; &nbsp; ; &nbsp; &nbsp;<math>n=\frac{c^2}{a} \,</math>
+#Todos tienen un ángulo recto.
-{{ecuación|<math>h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}</math>|h2|left}}
+#Los ángulos '''B''' y '''ACH''' son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
+#Igualmente sucede con los ángulos '''A''' y '''BCH'''.
+[[imagen:Triángulo rectángulo.svg|thumb|right|300px|'''''Figura 1''''' - Los segmentos '''''m''''' y '''''n''''' son las respectivas proyecciones de los lados '''''b''''' y '''''a''''' sobre la hipotenusa '''''c''''', siendo '''''h''''' la altura correspondiente a la hipotenusa.]]
-lo que al simplificar en el último término de la ecuación  {{Eqnref|h2}} la raíz con los cuadrados nos conduce a :
-{{ecuación|<math>h=\frac{b\,c}{a}</math>|h3}}
+Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
-Donde '''''h''''' es la altura (''relativa a la hipotenusa''), '''''b''''' y '''''c''''' los catetos y '''''a''''' la hipotenusa.<br />
-La ecuación {{Eqnref|h3}} nos permite establecer el enunciado (''forma'' 2) del teorema :
-{{Teorema|1= En todo triángulo rectángulo la altura '''''h''''' (''relativa a la hipotenusa'') es igual al producto de sus catetos '''''b''''' y '''''c''''' divididos por la hipotenusa '''''a'''''.|título= Teorema de la altura (''forma'' 2)}}
+* Por la semejanza entre los triángulos Δ'''ACH''' y Δ'''ABC'''
-==Véase también==
-* [[Teorema del cateto]]
+:<math>\frac {b}{m}=\frac {c}{b}</math>
+de dónde,
+:<math>b^2 \ =\ cm</math>
+* Por la semejanza entre los triángulos Δ'''BCH''' y Δ'''ABC'''
+:<math>\frac {a}{n}=\frac {c}{a}</math>
+:<math>a^2 \ =\ cn</math>
+y el teorema queda demostrado.
+<big align="justify">== Corolario ==
+{{definición|1= “''En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.''”|título=Corolario 1|compacto=sí}}
+Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el '''«''corolario'' 1»''' basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas '''''m''''' y '''''n''''':
+{{ecuación|<math>b^2 \ =\ c\; m \;\;\;\; ; \;\;\;\; a^2 \ =\ c\; n</math>}}
+en las que al despejar respectivamente '''''m''''' y '''''n''''' producen las ecuaciones del '''«''corolario'' 1»''':
+{{ecuación|<math>m=\frac{b^2}{c} \;\;\;\; ; \;\;\;\; n=\frac{a^2}{c}</math>}}
+donde '''''m''''' es la proyección ortogonal del cateto '''''b''''' sobre la hipotenusa  '''''c''''' (''véase '''figura 1''''') y '''''n''''' es la proyección ortogonal del cateto  '''''a''''' también sobre la hipotenusa '''''c'''''.</big>
+== Véase también ==
+* [[Teorema de la altura]]
 * [[Teorema de Tales]]
 * [[Teorema de Pitágoras]]
-[[Categoría:Teoremas de geometría]]
+[[Categoría:Teoremas de geometría|Cateto]]
 [[Categoría:Triángulos]]
+[[ca:Teorema del catet]]