Teorema de Mordell-Weil

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En álgebra el teorema de Mordell-Weil es una extensión a grupos abelianos realizada por André Weil en 1928 al Teorema de Mordell de 1922 respecto de las curvas elípticas sobre \mathbb{Q} .

Enunciado[editar]

El Teorema de Mordell afirma que si E:=y^2=f(x) es una curva elíptica racional no singular, esto es que f y df no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales E(\mathbb{Q}) es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo a el producto r veces de \mathbb{Z} (a r se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. E(\mathbb{Q})\cong\overbrace{\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}}^{r\;\; veces }\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{\lambda_1}\mathbb{Z}}\oplus...\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_s^{\lambda_s}\mathbb{Z}}

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo E(\mathbb{Q}) va a ser isomorfo a \mathbb{Q} con la suma o \mathbb{Q}^* con la multiplicación, que no son finitamente generados.