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Sustitución de Euler

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La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

donde es una función racional de y de . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.[1]

Primera sustitución

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La primera sustitución de Euler se utiliza cuando . Se sustituye

y se resuelve la expresión resultante para . Se tiene que

y el término se puede expresar racionalmente en .

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

Segunda sustitución

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Si , se toma

Se resuelve para de manera similar al caso anterior y entonces

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

Tercera sustitución

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Si el polinomio tiene raíces reales y , se puede elegir

.

Esto produce

y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en .

Ejemplos

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Primera sustitución de Euler

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Ejemplo 1

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En la integral

se puede usar la primera sustitución y establecer , así

En consecuencia, se obtiene:

Con se obtienen las fórmulas

Ejemplo 2

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Para encontrar el valor de

se determina usando la primera sustitución de Euler, . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene , a partir de lo que los términos en se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene

A partir de ahí, resulta que los diferenciales y están relacionados por

Por lo tanto,

Segunda sustitución de Euler

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En la integral

se puede usar la segunda sustitución y configurar . Así

y

En consecuencia, se obtiene:

Tercera sustitución de Euler

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Para evaluar

se puede usar la tercera sustitución y configurar . Así

y

A continuación,

Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.

Generalizaciones

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Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral , se puede usar la sustitución . Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma

donde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral

donde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.[2]

Véase también

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Referencias

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  1. N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
  2. Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939. 

Enlaces externos

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