La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma
donde es una función racional de y de . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.[1]
La primera sustitución de Euler se utiliza cuando . Se sustituye
y se resuelve la expresión resultante para . Se tiene que
y el término se puede expresar racionalmente en .
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
Si , se toma
Se resuelve para de manera similar al caso anterior y entonces
Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
Si el polinomio tiene raíces reales y , se puede elegir
- .
Esto produce
y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en .
Primera sustitución de Euler
[editar]
En la integral
se puede usar la primera sustitución y establecer , así
En consecuencia, se obtiene:
Con se obtienen las fórmulas
Para encontrar el valor de
se determina usando la primera sustitución de Euler, . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene , a partir de lo que los términos en se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene
A partir de ahí, resulta que los diferenciales y están relacionados por
Por lo tanto,
Segunda sustitución de Euler
[editar]
En la integral
se puede usar la segunda sustitución y configurar . Así
y
En consecuencia, se obtiene:
Tercera sustitución de Euler
[editar]
Para evaluar
se puede usar la tercera sustitución y configurar . Así
y
A continuación,
Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral , se puede usar la sustitución . Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma
donde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral
donde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.[2]
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
- ↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939.