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En [[matematicas]], el '''subfactorial''' de un [[numero natural]] ''n'', a veces escrito como !''n'', es el numero de posibles desarreglos(permutacion donde ninguno de sus elementos aparece en la posicion original) de un [[conjunto]] con ''n'' elementos. En terminos concretos, el subfactorial cuenta el numero de formas diferentes en que ''n'' personas podrian cambiar por ejemplo: regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo. |
En [[matematicas]], el '''subfactorial''' de un [[numero natural]] ''n'', a veces escrito como !''n'', es el numero de posibles desarreglos(permutacion donde ninguno de sus elementos aparece en la posicion original) de un [[conjunto]] con ''n'' elementos. En terminos concretos, el subfactorial cuenta el numero de formas diferentes en que ''n'' personas podrian cambiar por ejemplo: regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo. |
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El subfactorial es una [[funcion]] del conjunto de numeros naturales que devuelve un valor tambien natural. Los primeros valores son: |
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The subfactorial is actually a [[function (mathematics)|function]] from the set of natural numbers to itself. The first few values are: |
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:<math>!0\,=\,1,\quad !1\,=\,0,\quad !2\,=\,1,\quad !3\,=\,2,\quad !4\,=\,9,\quad !5\,=\,44.</math> |
:<math>!0\,=\,1,\quad !1\,=\,0,\quad !2\,=\,1,\quad !3\,=\,2,\quad !4\,=\,9,\quad !5\,=\,44.</math> |
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La funcion subfactoriak define la secuencia [[OEIS:A000166|A000166]] en [[OEIS]]. |
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El nombre “subfactorial” viene de la funcion [[factorial]] (usualmente escrita''n''!), la cual cuenta el numero total de permutaciones de un elemento ''n'' de un conjunto. El valor del subfactorial es siempre menor o igual que el factorial correspondiente a mismo ''n'': |
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:<math>!n \,\le\, n!</math> |
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:<math>!n = \frac{\Gamma (n+1, -1)}{e}</math> |
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donde <math>\Gamma</math> denota la [[funcion gama incompleta]], y [[e]] es la constante de euler; o |
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:<math>!n = \left [ \frac {n!}{e} \right ]\qquad\mbox{for }n\geq1</math> |
:<math>!n = \left [ \frac {n!}{e} \right ]\qquad\mbox{for }n\geq1</math> |
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donde [x] denota la [[funcion entera mas cercana]]. |
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:<math>!n = !(n-1)\;n + (-1)^n\qquad\mbox{for }n\geq1</math> |
:<math>!n = !(n-1)\;n + (-1)^n\qquad\mbox{for }n\geq1</math> |
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where the sequence (''a''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> is given by <math>\;a_0 = a_1 = 1</math> and <math>a_n = n\;a_{n-1} + (n-1)\;a_{n-2}</math>; this is sequence [[OEIS:A000255]] |
where the sequence (''a''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> is given by <math>\;a_0 = a_1 = 1</math> and <math>a_n = n\;a_{n-1} + (n-1)\;a_{n-2}</math>; this is sequence [[OEIS:A000255]] |
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Los subfactoriales tambien pueden ser carlculados recursivamente: |
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Subfactorials can also be calculated recursively: |
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:<math>!n = n! - \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}(!(n-k))</math> |
:<math>!n = n! - \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}(!(n-k))</math> |
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The intuition here is the following: first, there are <math>n!</math> total permutations. We are going to systematically account for those which keep precisely <math>k</math> objects fixed. Choose <math>k</math> objects to remain fixed. There are <math>{n \choose k}</math> ways to do this. Now, the remaining <math>n-k</math> objects need to be permuted, with none remaining fixed. The number of ways to do this is <math>!(n-k)</math>. |
The intuition here is the following: first, there are <math>n!</math> total permutations. We are going to systematically account for those which keep precisely <math>k</math> objects fixed. Choose <math>k</math> objects to remain fixed. There are <math>{n \choose k}</math> ways to do this. Now, the remaining <math>n-k</math> objects need to be permuted, with none remaining fixed. The number of ways to do this is <math>!(n-k)</math>. |
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== Valores explicitos == |
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Los primeros valores de la funcion son: |
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The first few values of the function are: |
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:!21 = 18,795,307,255,050,944,540 |
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== Miscelanea == |
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La notacion !''n'' no es universalmente aceptada. It gives ambiguity with the notation for the factorial function if there is a factor that precedes the subfactorial, which sometimes necessitates an unusual ordering of factors (see for instance in the formulas above), or brackets round the subfactorial. |
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The number 148,349 is the only number that is equal to the sum of the subfactorials of its digits: |
The number 148,349 is the only number that is equal to the sum of the subfactorials of its digits: |
Revisión del 23:28 28 oct 2009
En matematicas, el subfactorial de un numero natural n, a veces escrito como !n, es el numero de posibles desarreglos(permutacion donde ninguno de sus elementos aparece en la posicion original) de un conjunto con n elementos. En terminos concretos, el subfactorial cuenta el numero de formas diferentes en que n personas podrian cambiar por ejemplo: regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo. El subfactorial es una funcion del conjunto de numeros naturales que devuelve un valor tambien natural. Los primeros valores son:
La funcion subfactoriak define la secuencia A000166 en OEIS.
El nombre “subfactorial” viene de la funcion factorial (usualmente escritan!), la cual cuenta el numero total de permutaciones de un elemento n de un conjunto. El valor del subfactorial es siempre menor o igual que el factorial correspondiente a mismo n:
Computando los valores de la funcion Subfactorial
Los subfactoriales pueden ser calculados usando el principio de inclusion-exclusion.
Tambien pueden ser calculados de las siguientes formas:
donde denota la funcion gama incompleta, y e es la constante de euler; o
donde [x] denota la funcion entera mas cercana.
where the sequence (an)n is given by and ; this is sequence OEIS:A000255
Los subfactoriales tambien pueden ser carlculados recursivamente:
The intuition here is the following: first, there are total permutations. We are going to systematically account for those which keep precisely objects fixed. Choose objects to remain fixed. There are ways to do this. Now, the remaining objects need to be permuted, with none remaining fixed. The number of ways to do this is .
Valores explicitos
Los primeros valores de la funcion son:
- !0 = 1
- !1 = 0
- !2 = 1
- !3 = 2
- !4 = 9
- !5 = 44
- !6 = 265
- !7 = 1,854
- !8 = 14,833
- !9 = 133,496
- !10 = 1,334,961
- !11 = 14,684,570
- !12 = 176,214,841
- !13 = 2,290,792,932
- !14 = 32,071,101,049
- !15 = 481,066,515,734
- !16 = 7,697,064,251,745
- !17 = 130,850,092,279,664
- !18 = 2,355,301,661,033,953
- !19 = 44,750,731,559,645,106
- !20 = 895,014,631,192,902,121
- !21 = 18,795,307,255,050,944,540
Miscelanea
La notacion !n no es universalmente aceptada. It gives ambiguity with the notation for the factorial function if there is a factor that precedes the subfactorial, which sometimes necessitates an unusual ordering of factors (see for instance in the formulas above), or brackets round the subfactorial.
The number 148,349 is the only number that is equal to the sum of the subfactorials of its digits:
Subfactorial is sometimes permitted in the Four fours mathematical game where !4 being 9 is helpful.
References
- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (2nd ed 1997) ISBN 0 14 026149 4, p.104