Símbolo de Pochhammer

Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer​ está definido por

$(z)_{n}=z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1);\qquad (z)_{0}=1.$

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

$(z)_{n}={\frac {\Gamma (z+n)}{\Gamma (z)}},$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

Propiedeades

Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

$(1)_{n}=n!\quad \mathrm {para\ } n\geq 0,$

$(z)_{n+m}=(z)_{n}(z+n)_{m},\,$

$(-z)_{n}=(-1)^{n}(z-n+1)_{n},\,$

${z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.$

Aplicaciones

Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos:

1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

   $(1+t)^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)_{k}}{k!}}\,t^{k}\qquad |t|<1$

2. La función hipergeométrica adyacente se puede expresar como:

   $_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}}}\,z^{k}$

Notas y referencias

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Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. 0-387-97558-6.