Problema de Thomson

El objetivo del problema de Thomson es determinar la configuración de energía potencial electrostática mínima de N electrones restringidos a la superficie de una esfera unitaria que se repelen entre sí con una fuerza dada por la Ley de Coulomb, el físico J. J. Thomson planteó el problema en 1904​ después de proponer un modelo atómico, más tarde llamado modelo atómico de Thomson basado en su conocimiento de la existencia de electrones cargados negativamente dentro de átomos con carga neutra.

Los problemas relacionados incluyen el estudio de la geometría de la configuración de energía mínima y el estudio del comportamiento de N grande de la energía mínima.

Enunciado matemático

El sistema físico incorporado por el problema de Thomson es un caso especial de uno de los dieciocho problemas matemáticos no resueltos propuestos por el matemático Steve Smale - "Distribución de puntos en las 2-esferas".​ La solución de cada problema de N-electrón se obtiene cuando la configuración de N-electrón restringida a la superficie de una esfera de radio unidad, $r=1$, produce un mínimo de energía potencial electrostática global, $U(N)$.

La energía de interacción electrostática que se produce entre cada par de electrones de cargas iguales ($e_{i}=e_{j}=e$, con $e$ la carga eléctrica de un electrón) está dada por la Ley de Coulomb,

$U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.$

Aquí, $k_{e}$ es la constante de Coulomb y $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ es la distancia entre cada par de electrones localizados en los puntos de la esfera definidos por vectores $\mathbf {r} _{i}$ and $\mathbf {r} _{j}$ respectivamente.

Las unidades simplificadas de $e=1$ and $k_{e}=1$ se usan sin pérdida de generalidad. Entonces,

$U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.$

La energía potencial electrostática total de cada configuración de N-electrón se puede expresar como la suma de todas las interacciones por pares

$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.$

La minimización global de $U(N)$ sobre todas las colecciones posibles de N puntos distintos se encuentra típicamente mediante algoritmos de minimización numérica.

Ejemplo

La solución del problema de Thomson para dos electrones se obtiene cuando ambos electrones están lo más separados posible en lados opuestos del origen, $r_{ij}=2r=2$, o

$U(2)={1 \over 2}.$

Soluciones conocidas

Las configuraciones mínimas de energía han sido rigurosamente identificadas en solo unos pocos casos.

• Para N = 1, la solución es trivial ya que el electrón puede residir en cualquier punto de la superficie de la esfera de la unidad. La energía total de la configuración se define como cero ya que el electrón no está sujeto al campo eléctrico debido a otras fuentes de carga.
• Para N = 2, la configuración óptima consiste en electrones en puntos antipodales.
• Para N = 3, los electrones residen en los vértices de un triángulo equilátero alrededor de un gran círculo.​
• Para N = 4, los electrones residen en los vértices de un tetraedro regular.
• Para N = 5, una solución matemáticamente rigurosa asistida por computadora se informó en 2010 con electrones que residen en los vértices de una bipirámide triangular.​
• Para N = 6, los electrones residen en vértices de un octaedro regular.​
• Para N = 12, los electrones residen en los vértices de un icosaedro regular.​

En particular, las soluciones geométricas del problema de Thomson para N = 4, 6 y 12 electrones se conocen como sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros congruentes, las soluciones numéricas para N = 8 y 20 no son las configuraciones poliédricas convexas regulares de los dos sólidos platónicos restantes, cuyas caras son cuadradas y pentagonales, respectivamente.

Generalizaciones

También se puede pedir para los estados de fondo de las partículas interactúen con potenciales arbitrarios, para ser matemáticamente preciso, deje que f sea una función de valor real decreciente y defina la energía funcional. $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Tradicionalmente, se considera $f(x)=x^{-\alpha }$ también conocido como Riesz $\alpha$-kernels. Para los kernels integrales de Riesz,​ ver; para los kernels de Riesz no integrables, se cumple el teorema de bagel de semilla de amapola, ver.​ Los casos notables incluyen α = ∞, el problema de Tammes (embalaje); α = 1, el problema de Thomson; α = 0, el problema de Whyte (para maximizar el producto de las distancias).

También se pueden considerar configuraciones de N puntos en una esfera de mayor dimensión. Ver diseño esférico.

Relaciones con otros problemas científicos

"Ningún hecho descubierto sobre el átomo puede ser trivial, ni puede acelerar el progreso de la ciencia física, ya que la mayor parte de la filosofía natural es el resultado de la estructura y el mecanismo del átomo." ——Sn. J. J. Thomson​

El problema de Thomson es una consecuencia natural del modelo atómico de Thomson en ausencia de su carga de fondo positiva uniforme.​

Aunque la evidencia experimental llevó al abandono del modelo de pudín de ciruela de Thomson como un modelo atómico completo, las irregularidades observadas en soluciones energéticas numéricas del problema de Thomson se han encontrado para corresponderse con el llenado de capas de electrones en átomos naturales en toda la tabla periódica de los elementos.​

El problema de Thomson también desempeña un papel en el estudio de otros modelos físicos, incluidas las burbujas multielectrópicas y el ordenamiento superficial de gotas metálicas líquidas confinadas en trampas Paul.

El problema generalizado de Thomson surge, por ejemplo, para determinar las disposiciones de las subunidades proteicas que comprenden las capas de virus esféricos.​ Las "partículas" en esta aplicación son agrupaciones de subunidades de proteínas dispuestas en un caparazón, otras realizaciones incluyen arreglos regulares de partículas coloidales en colloidosomas, propuestas para la encapsulación de ingredientes activos tales como fármacos, nutrientes o células vivas, patrones de fullerenos de átomos de carbono y la teoría TRePEV. Un ejemplo con interacciones logarítmicas de largo alcance es provisto por los vórtices Abrikosov que se formarían a bajas temperaturas en una capa metálica superconductora con un gran monopolo en el centro.

Configuraciones de la energía conocida más pequeña

En la siguiente tabla $N$ es el número de puntos (cargas) en una configuración, $E_{1}$ es la energía, el tipo de simetría se da en notación Schönflies (ver Grupos de puntos en tres dimensiones), y $r_{i}$ son las posiciones de los cargos. La mayoría de los tipos de simetría requieren que la suma vectorial de las posiciones (y, por lo tanto, el momento dipolar químico) sea cero.

Es costumbre considerar también el poliedro formado por la envolvente convexa de los puntos, por lo tanto, $v_{i}$ es el número de vértices donde el número dado de bordes se encuentra, '$e$ es el número total de bordes, $f_{3}$ es el número de caras triangulares, $f_{4}$ es el número de cuadriláteros caras y $\theta _{1}$ es el ángulo más pequeño subtendido por vectores asociados con el par de carga más cercano. Tenga en cuenta que las longitudes de los bordes generalmente no son iguales; por lo tanto (excepto en los casos N = 4, 6, 12, 24) la envolvente convexa es topológicamente equivalente al poliedro uniforme o al sólido de Johnson listado en la última columna.​

N	$E_{1}$	Simetría	$\left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Poliedro equivalente
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	[1] Digone
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	1	–	120.000°	[2] Triángulo
4	3.674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	[3] Tetraedro
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	Bipirámide triangular
6	9.985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	Octaedro
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	Bipirámide pentagonal
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	Antiprisma cuadrado
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	Prisma triangular triaumentado
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	Bipirámide cuadrada giroelongada
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	[4] Icosaedro con borde cerrado
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	Icosaedro
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	Dipyramid hexagonal giroelongado
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	Cubo romo
25	243.812760299	$C_{s}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_{2}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°
33	440.204057448	$C_{s}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_{2}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_{s}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_{3}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_{3}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	$C_{2}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	$C_{2}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	$C_{2}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	$C_{1}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	$C_{2}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	$C_{2}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	$C_{2}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°
73	2320.633883745	$C_{2}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	$C_{2}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	$C_{2}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	$C_{s}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	$C_{2}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	$C_{2}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	$C_{2}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	$C_{2}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	$C_{2}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	$C_{2}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	$C_{2}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	$C_{2}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	$C_{2}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	$C_{2}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	$C_{2}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	$C_{2}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	$C_{2}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	$C_{2}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	$C_{2}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	$C_{2}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	$C_{2}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	$C_{2}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	$C_{2}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	$C_{3}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	$C_{2}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	$C_{2}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	$C_{2}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	$C_{2}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	$C_{s}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	$C_{3}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°
123	6811.827228174	$C_{2v}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	$C_{2}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	$C_{2}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	$C_{2}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	$C_{2}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	$C_{2}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°
133	7998.179212898	$C_{3}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	$C_{2}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	$C_{2}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	$C_{2}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	$C_{1}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	$C_{2v}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	$C_{2}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	$C_{2}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	$C_{s}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	$C_{2}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	$C_{2}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	$C_{1}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	$C_{2}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	$C_{2}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	$C_{2}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	$C_{2}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	$C_{2}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	$C_{2}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	$C_{2}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	$C_{2}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	$C_{2}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	$C_{2}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	$C_{2}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	$C_{s}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	$C_{2v}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	$C_{s}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	$C_{2}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	$C_{1}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	$C_{1}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	$C_{2}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	$C_{1}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	$C_{2}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	$C_{1}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	$C_{2}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	$C_{3}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	$C_{1}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°
193	17144.564740880	$C_{2}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	$C_{1}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	$C_{2}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	$C_{2}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	$C_{1}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	$C_{1}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	$C_{s}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°
214	21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°
282	37147.294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°
292	39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	$C_{2}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°
382	68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	$I$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

Según una conjetura, si $m=n+2$ p es el poliedro formado por la envolvente convexa de m puntos, q es el número de caras cuadrilaterales de p, entonces la solución para m electrones es f(m): $f(m)=0^{n}+3n-q$​

Notas

• Henry Cohn and Abhinav Kumar, "Universally optimal distribution of points on spheres". J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), no. 1, 99–148
• Cris Cecka, Mark J. Bowick, and Alan A. Middleton: http://thomson.phy.syr.edu/ Archivado el 9 de abril de 2018 en Wayback Machine.
• T. Erber and G. M. Hockney, "Complex Systems: Equilibrium Configurations of $N$ Equal Charges on a Sphere $(2\leq N\leq 112)$", Advances in Chemical Physics, Volume 98, pp. 495–594, 1997.
• P. D. Dragnev, D. A. Legg, and D. W. Townsend, "Discrete logarithmic energy on the sphere". Pacific J. Math. 207 (2002), no. 2, 345–358.
• David J. Wales and Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html and also http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson2/table.html

• Datos: Q7795912