Paradoja de Stokes

En la ciencia de la Mecánica de fluidos la paradoja de Stokes es un fenómeno mediante el cual no puede darse un movimiento lento de un fluido alrededor de un disco de dos dimensiones; de manera equivalente, el hecho de que no existe una solución de estado estacionario no trivial para las ecuaciones de Navier-Stokes alrededor de un cilindro infinitamente largo. Esto se opone al caso tridimensional, donde el método de Stokes proporciona una solución al problema del flujo alrededor de una esfera. [1] [2]

Deducción

El vector velocidad $u$ de un fluido puede ser descrito en términos de la función de flujo $\psi$ como

$\mathbf {u} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}&-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.\end{pmatrix}}$

Como la función de corriente en un problema de flujo de Stokes, $\psi$ satisface la ecuación biarmónica. [3] Dado que el avión puede ser considerado como un plano complejo, el problema puede tratarse usando métodos del análisis de números complejos. En esta aproximación, $\psi$ puede ser la parte real o imaginaria de[4]

${\bar {z}}f(z)+g(z)$.

donde $z=x+iy$, en la que $i$ es la unidad imaginaria, ${\bar {z}}=x-iy$, y $f(z),g(z)$ son funciones holomorfas fuera del disco y donde se puede tomar la parte real sin pérdida de generalidad. A continuación se introduce la función $u$, definida como $u=u_{x}+iu_{y}$. $u$ puede escribirse como $u=-2i{\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$, o ${\frac {1}{2}}iu={\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$ usando las Derivadas de Wirtinger.

Esto se calcula para ser igual a

${\frac {1}{2}}iu=f(z)+z{\bar {f\prime }}(z)+{\bar {g\prime }}(z).$

• Datos: Q17106061