Ordinal sucesor

En teoría de conjuntos, el sucesor de un número ordinal α es el número ordinal más pequeño por encima de α. Todo ordinal no nulo es o bien sucesor de otro (un ordinal sucesor) o bien un ordinal límite.

Propiedades

Todo ordinal distinto de 0 es o bien un ordinal sucesor o bien un ordinal límite.​

En el modelo de Von Neumann

Usando la construcción de los números ordinales de von Neumann (el modelo estándar que se usa en teoría de conjuntos), el sucesor S(α) de un ordinal α viene dado por la siguiente fórmula:​

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.$

Como el orden de los ordinales viene dado por α < β si y solo si α ∈ β, es inmediato que no hay número ordinal entre α y S (α), y también es claro que α < S(a).

Suma de ordinales

La operación sucesor se puede usar para definir la suma de ordinales rigurosamente mediante inducción transfinita de la siguiente forma:

$\alpha +0=\alpha \!$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

y para un ordinal límite λ

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )$

En particular, S(α) = α + 1. Nótese que, por lo general, $1+\alpha \neq S(\alpha )$ (la suma de ordinales no es conmutativa); de hecho esto solo ocurre para ordinales finitos, siendo $1+\alpha =\alpha$ para ordinales infinitos.

La multiplicación y la exponenciación se definen de manera similar.

Topología

Los puntos sucesores y el cero son los puntos aislados de la clase de los números ordinales con la topología de orden.​

Véase también

• Aritmética ordinal
• Ordinal límite
• Sucesor
• Cardinal sucesor