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Número perfecto unitario

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Problemas no resueltos de la matemática: ¿Hay infinitos números perfectos unitarios?

Un número perfecto unitario es un número entero que es la suma de sus propios divisores unitarios positivos, sin incluir el número en sí (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten ningún factor común). Algunos números perfectos no son números perfectos unitarios y algunos números perfectos unitarios no son números perfectos ordinarios.

Ejemplos conocidos

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El número 60 es un número perfecto unitario, porque 1, 3, 4, 5, 12, 15 y 20 son sus propios divisores unitarios, y 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Empezando desde el cinco, los únicos números perfectos unitarios conocidos, son , , , y (sucesión A002827 en OEIS). Las respectivas sumas de sus propios divisores unitarios son las siguientes:

  • 6 = 1 + 2 + 3
  • 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
  • 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
  • 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
  • 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 divisores en la suma)

Propiedades

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No hay números perfectos unitarios impares. Esto se debe a que 2d*(n) divide la suma de los divisores unitarios de un número impar n, de modo que d*(n) es el número de factores primos distintos de n. Se obtiene este resultado porque la suma de todos los divisores unitarios es una función multiplicativa y se tiene que la suma de los divisores unitarios de una potencia prima pa es pa + 1 que es par para todos primos impares p. Por lo tanto, un número perfecto unitario impar debe tener solo un factor primo distinto, y no es difícil demostrar que una potencia de un número primo no puede ser un número perfecto unitario, ya que no cuenta con suficientes divisores.

No se sabe si hay o no infinitos números perfectos unitarios, o si hay más ejemplos más allá de los cinco ya conocidos. Un sexto de esos números tendría al menos nueve factores primos impares.[1]

Referencias

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  1. Wall, Charles R. (1988). «New unitary perfect numbers have at least nine odd components». Fibonacci Quarterly 26 (4): 312-317. ISSN 0015-0517. MR 967649. Zbl 0657.10003. 

Bibliografía

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