La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice
es una n-tupla de números enteros, cuya medida
viene dada por:
Se define
Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.
Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:
Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios
. La expresión
, escrita mediante multi-índice
, representa el monomio de n variables dado por
.
Otros contextos y sus propiedades básicas[editar]
Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla
de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado
).
Para los multiíndices
y
se define:
- Suma y diferencia por componentes
- Orden parcial
- Suma de componentes (valor absoluto)
- Factorial
- Coeficiente binomial
- Coeficiente multinomial
![{\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dc48a1ccf7e0afd58da2e73578d740825ee90d)
donde
- Potencias
- Derivada parcial de orden superior
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d599bf37f9a42d9bd5af502e78bdb11f797eff)
where
(véase también 4-gradiente). A veces también se utiliza la notación
.[1]
Referencias[editar]
- ↑ Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: Análisis funcional I (Revisada y ampliada edición). San Diego: Academic Press. p. 319. ISBN 0-12-585050-6.