Notación de Landau

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En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Definición[editar]

La notación de Landau se define de la siguiente forma:

Si f, g son funciones complejas definidas en un entorno de un punto x_0, entonces

  • f=O(g) \,\! cuando x\rightarrow x_0 si y sólo si existe un \epsilon>0 tal que |f(x)| \leq \epsilon |g(x)| para todo x en un entorno de x_0 \,\!.
  • f=o(g) \,\! cuando x\rightarrow x_0 si y sólo si para todo \epsilon>0 tenemos que |f(x)| < \epsilon |g(x)|\,\! para todo x en un entorno de x_0 \,\!.

Una versión un poco mas restrictiva pero mas manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean f(x)\,\!, g(x)\,\! dos funciones definidas para x>x_0.\,\! y sea g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_0\,\!. Los simbólos

f=o(g)\,\! , f=O(g)\,\!

significan respectivamente que f(x)/g(x) \to 0 \,\! cuando  x\to \infty \,\!, y que  f(x)/g(x)\,\! está acotado para  x\,\! suficientemente grande. La misma notación es usada cuando  x\,\! tiende a un límite finito o a -\infty\,\! , o también cuando x\,\! tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es  o(1)\,\! o O(1)\,\! si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones f(x)\,\! y g(x)\,\! definidas en una vecindad de un punto x_0\,\! (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si f(x)/g(x)\to 1\,\! cuando x\to x_0\,\!

Si las fracciones f(x)/g(x)\,\! , g(x)/f(x)\,\! están acotadas en una vecindad de x_0\,\! se dice que que f(x)\,\! , g(x)\,\! son del mismo orden cuando x\to x_0\,\!

Propiedades[editar]

Contexto de las propiedades

Sean a,b\in\mathbb{R}\,\! y supóngase que  f\,\! es una función definida sobre un intervalo finito o infinito a\leq x<b\,\! y es integrable sobre cualquier intervalo  (a,b')\,\! con b'<b\,\! podemos escribir

F(x)=\int_a^{x}f(t)\mathrm{d}t \ \ x\in(a,b')\,\!

Sea  u_0,u_1,u_2,\ldots \,\! una sucesión de numeros y sea

 U_\nu=u_0+u_1+\cdots + u_\nu \ \ (\nu=0,1,\ldots)\,\!

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

  1. Suponga que f(x)\,\! , g(x)\,\! están definidas en a\leq x<b\,\! e integrables sobre cualquier (a,b')\,\! , que  g(x)\geq0 \,\! y que G(x)\to +\infty\,\! cuando x\to b\,\! . Si f(x)=o(g(x))\,\! cuando x\to b\,\! , entonces también se tendrá que
    F(x)=o(G(x))\,\!
  2. Sean \{u_\nu\},\ \{v_\nu\},\  \,\! dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si \{u_\nu\}=o \{v_\nu\},\   \,\! y  V_\nu\to+\infty \,\!, entonces
     U_\nu=o(V_\nu) \,\!
  3. Suponga que la serie  \sum v_\nu \,\! converge, que los  v\,\!'s son positivos, y que  u_\nu=o(v_\nu) \,\!. entonces
     u_\nu+u_{\nu+1}+\cdots= o(v_\nu+v_{\nu+1}+\cdots)\,\!
  4. Sea  f(x) \,\! una función positiva, monótona y finita definida para  x\geq0 \,\! y sea
     F(x)=\int_0^{x}f\mathrm{d}t,\ \ \ F_n=f(0)+f(1)+\cdots+f(n). \,\!
    Entonces
     (i) si  f(x)\,\! decrementa, F(n)-f_n tiende a un límite finito
    (ii) si  f(x)\,\! incrementa,  F(n)\leq F_n\leq F(n)-f(n)_n\to+\infty
  5. Sea  f(x)\,\! positiva, finita y monótona para  x\geq0\,\!. Si se cumple  (i)  f(x)\,\! incrementa y  F(x)\to\infty \,\! o  (ii)  f(x)\,\! incrementa y f(x)=o(F(x)) \,\!, entonces
    F_n\,\!</math> es asintóticamente igual a F(n) \,\!

 \,\!

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Trigonometric Series vol 1 A. Zygmund