Notación de Landau

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En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Definición[editar]

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma: Si f, g son funciones complejas definidas en un entorno de un punto , entonces

  • cuando si y sólo si existe un tal que para todo en un entorno de .
  • cuando si y sólo si para todo tenemos que para todo en un entorno de .

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean , dos funciones definidas para y sea . Los simbólos

,

significan respectivamente que cuando , y que está acotado para suficientemente grande. La misma notación es usada cuando tiende a un límite finito o a , o también cuando tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es o si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones y definidas en una vecindad de un punto (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si cuando

Si las fracciones , están acotadas en una vecindad de se dice que , son del mismo orden cuando

Propiedades[editar]

Contexto de las propiedades

Sean y supóngase que es una función definida sobre un intervalo finito o infinito y es integrable sobre cualquier intervalo con podemos escribir

Sea una sucesión de numeros y sea

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

  1. Suponga que , están definidas en e integrables sobre cualquier , que y que cuando . Si cuando , entonces también se tendrá que
  2. Sean dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si y , entonces
  3. Suponga que la serie converge, que los 's son positivos, y que . entonces
  4. Sea una función positiva, monótona y finita definida para y sea
    Entonces
    si decrementa, tiende a un límite finito
    si incrementa,
  5. Sea positiva, finita y monótona para . Si se cumple incrementa y o incrementa y , entonces
    F_n\,\!</math> es asintóticamente igual a

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Trigonometric Series vol 1 A. Zygmund