Diferencia entre revisiones de «Número primo»

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En [[matemáticas]], un '''número primo''' es un [[número natural]] que tiene únicamente dos [[divisor]]es naturales distintos: él mismo y el [[uno|1]]. [[Euclides]] demostró alrededor del año 300 a.C. que existen [[infinitud de los números primos|infinitos números primos]]. Se contraponen así a los [[número compuesto|números compuestos]], que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El [[uno|número 1]], [[#Primalidad del 1|por convenio]], no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: [[dos|2]], [[tres|3]], [[cinco|5]], [[siete|7]], [[once|11]], [[trece|13]], [[diecisiete|17]], [[diecinueve|19]], [[veintitrés|23]], [[veintinueve|29]], [[treinta y uno|31]], [[treinta y siete|37]], [[cuarenta y uno|41]], [[cuarenta y tres|43]], [[cuarenta y siete|47]], [[cincuenta y tres|53]], [[cincuenta y nueve|59]], [[sesenta y uno|61]], [[sesenta y siete|67]], [[setenta y uno|71]], [[setenta y tres|73]], [[setenta y nueve|79]], [[ochenta y tres|83]], [[ochenta y nueve|89]] y [[noventa y siete|97]].<ref>{{OEIS|A000040}}</ref>

La propiedad de ser primo se denomina '''primalidad''', y el término '''primo''' se puede emplear como adjetivo. A veces se habla de '''número primo impar''' para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el [[conjunto]] de todos los números primos por <math>\mathbb{P}</math>.

El estudio de los números primos es una parte importante de la [[teoría de números]], la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas [[conjetura matemática|conjeturas]] centenarias tales como la [[hipótesis de Riemann]] y la [[conjetura de Goldbach]]. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

== Historia ==
=== Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia ===
[[Archivo:Ishango bone.jpg|thumb|250px|El [[hueso de Ishango]].]]
Las muescas presentes en el [[hueso de Ishango]], que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la [[escritura]]) y que fue hallado por el arqueólogo [[Jean de Heinzelin de Braucourt]]<ref>[[Marcus du Sautoy]], ''La symphonie des nombres premiers'' P.42 (en francés)</ref> parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.<ref>''[http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Keller/Keller3.pdf Préhistoire de la géométrie: le problème des sources]'', artículo de Olivier Keller (en francés)</ref>

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en [[Mesopotamia]] a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los [[inverso multiplicativo|inversos]] de los naturales, que también se han hallado en tablillas. En el [[sistema sexagesimal]] que empleaban los [[Babilonia|babilonios]] para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (''números regulares'') se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la [[factorización]] de los naturales.

En las [[matemáticas egipcias]], el cálculo de [[fracción|fracciones]] requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas [[fracción unitaria|fracciones unitarias]], es decir, aquellas cuyo numerador es 1 (<math>\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots</math>, por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición (<math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}</math> en lugar de <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}</math>). Para ello seguramente hacía falta disponer de una tabla de los primeros números primos.

=== Antigua Grecia ===
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a.C. y se encuentra en los ''[[Elementos de Euclides|Elementos]]'' de [[Euclides]] (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el [[máximo común divisor]] y el [[mínimo común múltiplo]] y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el [[algoritmo de Euclides]]. Los ''Elementos'' contienen asimismo el [[teorema fundamental de la aritmética]] y la manera de construir un [[número perfecto]] a partir de un [[número primo de Mersenne]].

La [[criba de Eratóstenes]], atribuida a [[Eratóstenes de Cirene]], es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

=== Matemáticas modernas ===
[[Archivo:Pierre de Fermat.jpg|230px|thumb|[[Pierre de Fermat]].]]
Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En [[1640]] [[Pierre de Fermat]] estableció (aunque sin demostración) el [[pequeño teorema de Fermat]], posteriormente demostrado por [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] y [[Leonhard Euler|Euler]]. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.<br />

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup>+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como [[número de Fermat|números de Fermat]]) y verificó esta propiedad hasta ''n'' = 4 (es decir, 2<sup>16</sup>&nbsp;+&nbsp;1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat 2<sup>32</sup>&nbsp;+&nbsp;1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.<br />
El monje francés [[Marin Mersenne]] investigó los números primos de la forma 2<sup>''p''</sup>&nbsp;−&nbsp;1, con ''p'' primo. En su honor, se los conoce como [[número de Mersenne|números de Mersenne]].

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos. Demostró la [[divergencia de la suma de los inversos de los números primos|divergencia]] de la [[suma infinita|serie]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots</math>, y en 1747 demostró que todos los [[número perfecto|números perfectos]] pares son de la forma 2<sup>''p''-1</sup>(2<sup>''p''</sup> - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando ''n'' tiende a infinito, el número de primos menores o iguales que ''n'' es asintótico a <math>\tfrac{n}{\ln (n)}</math>, donde ln(''n'') es el [[logaritmo natural]] de ''n''. Las ideas que [[Bernhard Riemann]] plasmó en un trabajo de 1859 sobre la [[función zeta de Riemann|función zeta]], describieron el camino que conduciría a la demostración del [[teorema de los números primos]]. [[Jacques Hadamard|Hadamard]] y [[Charles-Jean de la Vallée Poussin|De la Vallée-Poussin]], cada uno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por [[división por tentativa|divisiones sucesivas]], al menos no si el número es relativamente grande.

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el [[test de Lucas-Lehmer para números de Mersenne]], desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el [[test de Pépin]] para los números de Fermat (1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina [[test de Lucas-Lehmer]].

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de de estos algoritmos son el [[Teorema de Proth|test de Proth]] (desarrollado alrededor de 1878) y el [[test de Pocklington]] (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de ''p''. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el [[test BLS de primalidad]] que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de ''p''. El mejor método conocido de esta clase es el [[test de Konyagin y Pomerance]] del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que ''p''<sup>3/10</sup>.<ref>{{cita libro| apellidos = Crandall| nombre = Richard| título = Prime numbers, a computational perspective| año = 2001| editorial = Nueva York: Springer-Verlag| id = ISBN 0-387-94777-9}}</ref><ref>{{Cita web|apellido=Bernstein|nombre=Daniel|título=Prime tests|url=http://cr.yp.to/primetests.html|fechaacceso=1 de julio de 2009}}</ref>

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el [[test de Adleman-Pomerance-Rumely|test APRT-CL]] (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de p<sup>m</sup>-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el [[test de primalidad por curvas elípticas]] (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el [[test de primalidad AKS]] (2002) que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la [[matemática pura]]{{Añadir referencias}}. Esto cambió en los [[años 1970]] con el desarrollo de la [[criptografía de clave pública]], en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo [[RSA]].

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de [[ordenador]]es. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos de [[computación distribuida]] tales como el [[GIMPS]], mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

=== Primalidad del 1 ===
Hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría consideraban que el 1 era primo, entendiéndose que la definición de número primo consistía en la divisibilidad entre 1 y él mismo pero que no requería un número mínimo de divisores distintos. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como por ejemplo el trabajo de [[Moritz Abraham Stern|Stern]] y Zeisel. La lista de [[Derrick Norman Lehmer]] de números primos hasta el 10.006.721, reimpreso hasta el año 1956<ref>Hans Riesel, ''Prime Numbers and Computer Methods for Factorization''. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)</ref> empezaba con el 1 como primer número primo.<ref>Richard K. Guy & John Horton Conway, ''The Book of Numbers''. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)</ref> El cambio de nomenclatura se produjo con el fin de que fuera válido el siguiente enunciado del [[teorema fundamental de la aritmética]]: «''todo número natural tiene una representación '''única''' como producto de factores primos, salvo el orden''».<ref>{{cita libro|apellidos=Gowers|nombre=T|enlaceautor=William Timothy Gowers|año=2002|páginas=118|cita=La exclusión aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se trata simplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos|título=Mathematics: A Very Short Introduction|editorial=[[Oxford University Press]]|isbn=0-19-285361-9}}</ref><ref>"[http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html "Why is the number one not prime?"]" (en inglés), accedido el 31-05-2009.</ref> Además, los números primos tienen numerosas propiedades que no tiene el 1, tales como la relación del número con el valor correspondiente de la [[función φ de Euler]] o la función suma de divisores.<ref>"[http://www.geocities.com/primefan/Prime1ProCon.html "Arguments for and against the primality of 1]" (en inglés), accedido el 31-05-2009.</ref>

=== Números primos en el arte y la literatura ===
Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés [[Olivier Messiaen]] se valió de ellos para crear música no métrica. En obras tales como ''La Nativité du Seigneur'' (1935) o ''[[Quatre études de rythme]]'' (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales».<ref>{{cita libro|título=The Messiaen companion|autor=Peter Hill|editor=Amadeus Press|año=1994|ISBN=ISBN 0-931340-95-0}}.</ref>

En su novela de ciencia ficción ''[[Contact (novela)|Contact]]'', posteriormente [[Contact (película)|adaptada al cine]], [[Carl Sagan]] sugiere que los números primos podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera informal con el astrónomo estadounidense [[Frank Drake]] en 1975.<ref>[[Carl Pomerance]], [http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/extraterrestrial.pdf Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence], accedido el 31-05-2009</ref>

''[[El curioso incidente del perro a medianoche]]'', de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven [[autismo|autista]] muy dotado en matemáticas y [[cálculo mental]], utiliza únicamente los números primos para numerar los capítulos.

En la novela ''[[PopCo]]'' de [[Scarlett Thomas]], la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la [[hipótesis de Riemann]]. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.<ref>[http://math.cofc.edu/kasman/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf476 A Mathematician reviews PopCo] (en inglés), accedido el 31-05-2009</ref>

''La soledad de los números primos'', novela escrita por [[Paolo Giordano (escritor)|Paolo Giordano]], ganó el [[premio Strega]] en 2008.

También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo, ''[[Cube]]'', ''[[Sneakers]]'', ''[[El amor tiene dos caras]]'' y ''[[Una mente maravillosa]]''. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel [[John Forbes Nash]], escrita por [[Sylvia Nasar]].<ref>[http://www.musicoftheprimes.com/films.htm Music of the Spheres], Selección de [[Marcus du Sautoy]] de películas que versan sobre los números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009</ref>

== Propiedades de los números primos ==
=== Teorema fundamental de la aritmética ===
[[Archivo:Prime rectangles.png|thumb|Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.]]
{{VT|Teorema fundamental de la aritmética}}

El [[teorema fundamental de la aritmética]] establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un [[producto vacío]].

Se puede considerar que los números primos son los «átomos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 2<sup>2</sup>·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el [[mínimo común múltiplo]], el [[máximo común divisor]] y la [[coprimalidad]] de dos o más números. Así,
* El [[mínimo común múltiplo]] de dos o más números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=2<sup>2</sup>·3 es 60=2<sup>2</sup>·3·5.
* El [[máximo común divisor]] de dos o más números es el mayor número natural que divide a todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2.
* Finalmente, dos o más números son [[primos entre sí|coprimos]], o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común, es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

=== Otras propiedades ===
* En su representación [[sistema decimal|decimal]], todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es [[números primos entre sí|coprima]] con la base.
* De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma [[número primo pitagórico|4''n'' + 1]] o bien 4''n'' - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6''n'' + 1 o 6''n'' - 1.
* [[Lema de Euclides]]: Si <math>p</math> es un número primo y [[divisor]] del producto de [[número entero|números enteros]] <math>ab</math>, entonces <math>p</math> es divisor de <math>a</math> o de <math>b</math>.
* [[Pequeño teorema de Fermat]]: Si <math>p</math> es primo y <math>a</math> es algún número natural diferente de 1, entonces <math>a^p - a</math> es divisible por <math>p</math>.
* Si ''p'' es primo distinto de 2 y 5, <math>\tfrac{1}{p}</math> siempre es un [[número periódico]] en su representación decimal, de periodo ''p''&nbsp;−&nbsp;1 o un divisor de ''p''&nbsp;−&nbsp;1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. <math>\tfrac{1}{p}</math> expresado en base ''q'' (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que ''p'' no sea un factor primo de ''q''.
* [[Teorema de Wilson]]: Un número natural <math>n > 1</math> es primo [[si y solo si]] el [[factorial]] <math>(n - 1)! + 1</math> es divisible por <math>n</math>. Asimismo, un número natural <math>n > 4</math> es compuesto si y sólo si <math>(n - 1)!</math> es divisible por <math>n</math>.
* La [[característica (álgebra)|característica]] de todo cuerpo es, bien cero, bien un número primo.
* [[Teorema de Sylow|Teoremas de Sylow]]: Si ''G'' es un [[grupo (matemática)|grupo]] y ''p''<sup>''n''</sup> es la [[orden p-ádico|mayor potencia del número primo ''p'' que divide]] el orden de ''G'', entonces ''G'' tiene un subgrupo de orden <math>p^n</math>.
* [[Teorema de Cauchy (teoría de grupos)|Teorema de Cauchy]]: Si ''G'' es un grupo finito y ''p'' es un número primo que divide al orden de ''G'', entonces ''G'' contiene un elemento de orden ''p''.
* La [[constante de Copeland-Erdős]] 0,235711131719232931374143…, obtenida por [[concatenación]] de los números primos en el sistema decimal, es un [[número irracional]].
* El valor de la [[función zeta de Riemann]] en cada punto del [[plano complejo]] se da como una continuación meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(''s'') > 1:
::<math>\zeta(s)=
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.</math>
:Al evaluar esta identidad para distintos enteros, se obtiene un número infinito de productos sobre los primos cuyos valores pueden ser calculados. Los dos primeros son:
::<math>\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}} = \infty</math>
::<math>\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-2}}= \frac{\pi^2}{6}.</math>
::En general <math>\frac{1}{\pi^n}\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-n}}</math> es un número racional cuando ''n'' es un número entero positivo par.
* El [[anillo (matemática)|anillo]] <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> es un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] si y solo si ''p'' es primo. Equivalentemente: ''p'' es primo si y solo si [[función φ de Euler|φ(''p'')]] = ''p'' − 1.
* Si ''p'' > 1, el [[polinomio]] <math>x^{p-1}+x^{p-2}+ \cdots + 1 </math> es [[polinomio irreducible|irreducible]] sobre <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> si y sólo si ''p'' es primo.
* Un número natural ''n'' es primo si y sólo si el ''n''-ésimo [[polinomio de Chebyshov]] de la primera especie <math>T_{n}(x)</math>, dividido entre <math>x</math>, es irreducible en <math>Z[x]</math>. Además, <math>T_{n}(x) \equiv x^n</math> si y sólo si <math>n</math> es primo.

=== Números primos y funciones aritméticas ===
Las [[función aritmética|funciones aritméticas]], es decir, las funciones definidas sobre los números naturales y que toman valores [[número real|reales]] o [[número complejo|complejos]], desempeñan un papel crucial en la [[teoría de números]]. Las más importantes son las [[función multiplicativa|funciones multiplicativas]], que son aquellas funciones ''f'' en las cuales, para cada par de números coprimos (''a'',''b'') se tiene
:<math>f(ab)=f(a)f(b) \,\!</math>.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la [[función φ de Euler]], que a cada ''n'' asocia el número de enteros positivos menores y coprimos con ''n'', y las funciones [[función divisor|τ]] y [[función divisor|σ]], que a cada ''n'' asocian respectivamente el número de divisores de ''n'' y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las [[potencia (matemática)|potencias]] de números primos es
:<math>\operatorname{\varphi}(p^m)=p^n-p^{n-1}</math>,
:<math>\operatorname{\tau}(p^m)=m+1</math>,
:<math>\operatorname{\sigma}(p^m)=1+p^2+p^3+\cdots+p^m</math>.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural ''n'' de factorización
:<math>n=p_1^{q_1}\cdots p_a^{q_a}</math>

se tiene que
:<math>f(n)=f(p_1^{q_1})\cdots f(p_a^{q_a})</math>

con lo que se ha reconducido el problema de calcular ''f''(''n'') al de calcular ''f'' sobre las potencias de los números primos que dividen ''n'', valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobre ''n''=450=2·3<sup>2</sup>·5<sup>2</sup> basta con calcular
:<math>\operatorname{\sigma}(450)=\operatorname{\sigma}(2)\cdot\operatorname{\sigma}(3^2)\cdot\operatorname{\sigma}(5^2)=(2-1)\cdot(9-3)\cdot(25-5)=120</math>.

== Características del conjunto de los números primos ==
=== Infinitud de los números primos ===
{{VT|Infinitud de los números primos}}

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera [[segundo teorema de Euclides|demostración]] alrededor del año [[300 a. C.|300&nbsp;a.&nbsp;C.]] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos <math>p_1,~p_2,~...,~p_n</math>, y se considera el producto de todos ellos más uno, <math>q=p_1p_2\cdots p_n+1</math>. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos <math>p_i</math> de la lista. El número <math>q</math> puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor <math>p</math> que divida a <math>q</math>. Suponiendo que <math>p</math> es alguno de los <math>p_i</math>, se deduce entonces que <math>p</math> divide a la diferencia <math>q-p_1p_2\cdots p_n=1</math>, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que <math>p</math> está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de los <math>n</math> primeros números primos, entonces <math>q=p_1p_2\cdots p_n+1=p_n \# +1</math>, donde <math>p_n \#</math> es lo que se llama [[primorial]] de <math>p_n</math>. Un número primo de la forma <math>p_n \# +1</math> se denomina [[número primo de Euclides]] en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos ''menos'' uno, el lugar del producto de esos números primos ''más'' uno. En ese sentido, se denomina [[número primo primorial]] a un número primo de la forma <math>p_n \# \pm 1</math>.

No todos los números de la forma <math>p_n \# \pm 1</math> son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que ''n''. Por ejemplo,
:<math>2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30 031=59\cdot 509</math>

Otros matemáticos han demostrado la [[infinitud de los números primos]] con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al [[álgebra conmutativa]] y la [[topología]]. Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de [[sucesión matemática|sucesiones]] infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una [[biyección]] entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la [[sucesión de Euclides-Mullin]], que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores. La [[sucesión de Sylvester]] se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

==== Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos ====
Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la [[suma de los inversos de los números primos|serie]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots</math> es [[divergencia|divergente]]. Uno de los [[teoremas de Mertens]] concreta más, estableciendo que
:<math>\sum_{p\leq n} \frac{1}{p}=\ln \ln n+O(1)</math><ref>Véase, por ejemplo, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', p. 24. (en inglés)</ref>
donde la expresión <math>O(1)</math> indica que ese término está acotado entre -C y C para ''n'' mayor que ''n''<sub>0</sub>, donde los valores de C y ''n''<sub>0</sub> no están especificados.<ref>En general, en la notación de Landau, <math>f(n) \in O(g(n))</math> indica que <math>f(n)</math> está ''dominada asintóticamente'' por <math>O(g(n))</math>, es decir, <math>\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{f(n)}{g(n)}\right| < \infty</math>. Para más información, lea ''[[notación de Landau]]''.</ref>

Otro resultado es el [[teorema de Dirichlet]], que dice así:
{{teorema|En toda [[progresión aritmética]] <math>a_n=a + n \cdot q</math>, donde los enteros positivos <math>a,\;q \geq 1</math> son [[primos entre sí]], existen infinitos términos que son primos.}}

El [[postulado de Bertrand]] enuncia así:
{{teorema|Si <math>n</math> es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo <math>p</math> tal que <math>n < p < 2n- 2</math>.}}
Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si <math>n</math> es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo <math>p</math> tal que <math>n < p < 2n</math>. Esto supone que, en una [[progresión geométrica]] de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

=== Frecuencia de los números primos ===
{{VT|Teorema de los números primos}}

:{| class="wikitable" align="right" style="text-align: right"
! <math>n</math>
! <math>\pi (n)</math>
! <math>\pi (n) - \tfrac{n}{\ln n}</math>
! <math>\mathrm{Li} (n) - \pi (n)</math>
! <math>\tfrac{n}{\pi(n)}</math>
|-
| 10
| 4
| −0,3
| 2,2
| 2,500
|-
| 10<sup>2
| 25
| 3,3
| 5,1
| 4,000
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 10
| 5,952
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1.229
| 143
| 17
| 8,137
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9.592
| 906
| 38
| 10,425
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78.498
| 6.116
| 130
| 12,740
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664.579
| 44.158
| 339
| 15,047
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5.761.455
| 332.774
| 754
| 17,357
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50.847.534
| 2.592.592
| 1.701
| 19,667
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455.052.511
| 20.758.029
| 3.104
| 21,975
|-
| ...
| ...
| ...
| ...
| ...
|}

[[Archivo:PrimeNumberTheorem.png|thumb|300px|Comparación entre las funciones [[función π|π(''n'')]] (azul), ''n'' / ln ''n'' (verde) y Li(''n'') (rojo); se puede ver que la aproximación de π(''n'') con Li(''n'') es mejor que la que hay con <math>\tfrac{n}{\ln n}</math>]]

Una vez demostrado que los números primos son infinitos, cabe preguntarse cómo se distribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son y dónde se espera encontrar el ''n''-ésimo número primo. Este estudio lo iniciaron [[Gauss]] y [[Legendre]] de forma independiente a finales del [[siglo XVIII]], que introdujeron la [[función π|función enumerativa de los números primos]] π(''n''), y conjeturaron que su valor fuese aproximadamente
:<math>\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}</math>.<ref>Con esta expresión se quiere decir que el [[límite (matemática)|límite]] de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando ''n'' tiende a infinito.</ref>

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por [[Pafnuti Chebyshov|Chebyshov]], quien demostró utilizando métodos puramente [[aritmética|aritméticos]] la existencia de dos constantes ''A'' y ''B'' tales que
:<math>A\leq \frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}} \leq B</math>
para ''n'' suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1.

[[Jacques Hadamard|Hadamard]] y [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|De la Vallée-Poussin]] elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la [[función zeta de Riemann]], que había sido introducida por [[Bernhard Riemann]] en [[1859]]. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el [[análisis complejo]]). Esta demostración fue ideada por [[Atle Selberg|Selberg]] y [[Paul Erdős|Erdős]]. Actualmente, se conoce el teorema como [[teorema de los números primos]].

El mismo [[Gauss]] introdujo una estimación más precisa, utilizando la función [[logaritmo integral]]:
:<math>\pi(n)\thickapprox \mathrm{Li}(n)=\int_2^n \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x</math>.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando <math>\pi(n)</math> de esta forma es
:<math> \pi(n)-\mathrm{Li}(n) = O \left(n \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln n}}\right)=O\left(\frac{n}{(\ln n)^m}\right)</math>
para una constante positiva ''a'' y para cada entero ''m''. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 [[Helge von Koch|Von Koch]] mostró que si la [[hipótesis de Riemann]] era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:
:<math> \pi(n) - \mathrm{Li}(n) = O\left(\sqrt n \ln n\right). </math>

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que <math>p_n</math>, el ''n''-ésimo número primo, queda bien aproximado por <math>n\ln n</math>. En efecto, <math>p_n</math> es estrictamente mayor que este valor.

=== Diferencia entre dos primos consecutivos ===
Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los [[distancia entre dos números primos consecutivos|intervalos entre dos primos consecutivos]]. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son [[números primos gemelos|''gemelos'']], y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural ''n'', se denota por ''n''! su [[factorial]], es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y ''n''. Los números
:<math>(n+1)!+2,~(n+1)!+3,\cdots,(n+1)!+n+1</math>

son todos compuestos: si <math>2 \le i \le n+1</math>, entonces (''n''+1)!+''i'' es divisible entre ''i'', por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende ''n'' enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si ''n''=5, estos valores corresponden a:
:<math>6!+2=722=2\cdot 361</math>
:<math>6!+3=723=3\cdot 241</math>
:<math>6!+4=724=4\cdot 181</math>
:<math>6!+5=725=5\cdot 145</math>
:<math>6!+6=726=6\cdot 121</math>
El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.<ref>Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si ''n'' es impar, se tiene que ''n''!+(''n''+1) es divisible entre 2.</ref> De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en ''n'' es generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos<ref>{{OEIS|A001223}}</ref> ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecido muchas [[#Conjeturas|conjeturas]] que permanecen sin resolver.

=== Conclusión ===
[[Archivo:PrimeNumbersSmall.png|thumb|La distribución de todos los números primos comprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Cada pixel representa un número. Los píxeles negros representan números primos; los blancos representan números no primos.]]
[[Archivo:Primenumbers2310inv.png|thumb|Imagen con 2310 columnas que conserva múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas respectivas. Como cabe esperar, los números primos caerán en columnas concretas si los números están ordenados de izquierda a derecha y el ancho es un múltiplo de un número primo. Sin embargo, los números primos también quedan distribuidos de manera ordenada en construcciones espirales como la [[espiral de Ulam]], ya que tienden a concentrarse en algunas diagonales concretas y no en otras.]]

El modelado de la distribución de los números primos es un tema de investigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidad de un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de que existen leyes, como el [[teorema de los números primos]] y el [[postulado de Bertrand]], que gobiernan su distribución a gran escala. [[Leonhard Euler]] comentó:

{{cita|1=Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.<ref>Julian Havil, ''Gamma: Exploring Euler's Constant'' (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)</ref>
}}
En una conferencia de 1975, [[Don Zagier]] comentó:

{{cita|1=Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y de su papel como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.<ref>Havil (2003): 171</ref>
}}

== Encontrar números primos ==
=== Tests de primalidad ===
{{VT|Test de primalidad}}
[[Archivo:Animation Sieve of Eratosth-2.gif|thumb|300px|La '''[[criba de Eratóstenes]]''' fue concebida por [[Eratóstenes de Cirene]], un [[matemático]] [[Antigua Grecia|griego]] del [[siglo III a.C.]] Es un [[algoritmo]] sencillo que permite encontrar todos los números primos menores o iguales que un número dado.]]
La [[criba de Eratóstenes]] es una manera sencilla de hallar todos los números primos menores o iguales que un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los números naturales desde el 2 hasta ese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya descubiertos. La [[criba de Atkin]], más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamente también es más rápida.

En la práctica, lo que se desea es determinar si un número dado es primo sin tener que confeccionar una lista de números primos. Un método para determinar la primalidad de un número es la [[división por tentativa]], que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado <math>n</math> menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que <math>\sqrt{120}</math>. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crece demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que <math>n</math> es aproximadamente
:<math>\frac {n}{\ln n - 1}</math>.
De esta forma, para determinar la primalidad de <math>n</math>, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que <math>\sqrt{n}</math>, dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de
:<math>\frac {\sqrt{n}}{\ln\sqrt{n} - 1}</math>.
Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de <math>n</math>, pero, como los <math>n</math> grandes son de interés, el número de candidatos también se hace grande: por ejemplo, para <math>n=10^{20}</math> se tienen 450 millones de candidatos.

Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan a los números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el [[teorema de Wilson]] para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de un [[factorial]], una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juego el [[tiempo de ejecución]] del algoritmo empleado, que se expresa en la [[notación de Landau]]. Para poder determinar la primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo de ejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un [[tiempo polinómico|polinomio]]. Si bien el [[test de primalidad AKS]] cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es extremadamente lento.

Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta [[probabilidad]] (aunque no segura) de ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante [[test de primalidad|tests de primalidad]] probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una fórmula junto con el número potencialmente primo ''n''. Después de varias iteraciones, se resuelve que ''n'' es "definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bien [[pseudoprimo]]s (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede haber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado. Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los [[números de Carmichael]] son números compuestos, pero el [[test de primalidad de Fermat|test de Fermat]] los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los tests probabilísticos más utilizados, como el [[test de primalidad de Miller-Rabin|test de Miller-Rabin]] o el obsoleto [[test de primalidad de Solovay-Strassen|test de Solovay-Strassen]], superado por el anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.

Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de ejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la [[hipótesis generalizada de Riemann]], se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el [[test de primalidad por curvas elípticas]] podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de números.

=== Algoritmos de factorización ===
Un algoritmo de factorización es un [[algoritmo]] que separa uno a uno los factores primos de un número. Los algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa de forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y no sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más antiguos que se conocen son el [[método de factorización de Fermat|método de Fermat]], que se basa en las diferencias entre [[cuadrado (aritmética)|cuadrados]] y que es especialmente eficaz cuando <math>n</math> es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el [[método de factorización de Euler|método de Euler]], que se basa en la representación de <math>n</math> como [[suma de dos cuadrados]] de dos formas distintas.

Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las [[fracción continua|fracciones continuas]] o las [[curva elíptica|curvas elípticas]], aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la [[criba cuadrática]], por ejemplo, se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de <math>n</math>). Otros, como el [[método rho de Pollard]], son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un número compuesto.

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el ''[[general number field sieve]]'', que también posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de <math>n</math>.<ref>{{cita web|idioma=inglés|url=http://mathworld.wolfram.com/NumberFieldSieve.html|autor=Eric W. Weisstein|título=Number Field Sieve|fechaacceso=31 de mayo de 2009}}</ref> Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de <math>n</math> (el [[algoritmo de Shor]]), pero requiere ser ejecutado en un [[ordenador cuántico]], ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial. No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco se demostró que esto sea imposible.

=== Fórmulas que sólo generan números primos ===
{{VT|Fórmula de los números primos}}

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas [[fórmula de los números primos|fórmulas para generar los números primos]]. El nivel más alto de exigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural ''n'' el ''n''-ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función ''f'' que asocie a cada número natural ''n'' un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados sólo aparezca una vez.

Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.<ref>Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim ''The new book of prime number records''.</ref> Por ejemplo, el [[teorema de Wilson]] asegura que <math>p</math> es un número primo si y sólo si <math>(p-1)! \equiv -1 \mod p</math>. Otro ejemplo: la función <math>f\left( n\right) = 2 + \left( {2 \left( n! \right)} \mod {\left( n+1 \right)} \right)\,</math> genera todos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.

En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que ningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos. Por ejemplo, el polinomio en una variable ''f''(''n'') = ''n''² − ''n'' + 41 devuelve valores primos para ''n'' = 0,…, 40, 43, pero ''f''(41) y ''f''(42) son compuestos. Si el término constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de ''n'', por lo que el polinomio es compuesto para valores compuestos de ''n''. En caso contrario, si ''c'' es el término constante, entonces ''f''(''cn'') es múltiplo de ''c'', por lo que si el polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.

Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:

:<math>(1 - (w \cdot z + h + j - q)^2 - (2 \cdot n + p + q + z - e)^2 - (a^2 \cdot y^2 - y^2 + 1 - x^2)^2 \dots</math>
:<math> - (e^3 \cdot (e + 2) \cdot (a + 1)^2 + 1 - o^2)^2 - (16 \cdot (k + 1)^3 \cdot (k + 2) \cdot (n + 1)^2 + 1 - f^2)^2 \dots</math>
:<math> - (((a + u^2 \cdot (u^2 - a))^2 - 1) \cdot (n + 4 \cdot d \cdot y)^2 + 1 - (x + c \cdot u)^2)^2 - (a \cdot i + k + 1 - l - i)^2 \dots</math>
:<math> - ((g \cdot k + 2 \cdot g + k + 1) \cdot (h + j) + h - z)^2 - (16 \cdot r^2 \cdot y^4 \cdot (a^2 - 1) + 1 - u^2)^2 \dots</math>
:<math> - (p - m + l \cdot (a - n - 1) + b \cdot (2 \cdot a \cdot n + 2 \cdot a - n^2 - 2 \cdot n - 2))^2 - (z - p \cdot m + p \cdot l \cdot a - p^2l + t \cdot (2 \cdot a \cdot p - p^2 - 1))^2 \dots</math>
:<math> - (q - x + y \cdot (a - p - 1) + s \cdot (2 \cdot a \cdot p + 2 \cdot a - p^2 - 2 \cdot p - 2))^2 - (a^2 \cdot l^2 - l^2 + 1 - m^2)^2 - (n + l + v - y)^2) \cdot (k + 2)</math>

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables ''a'' a ''z'' de 0 a infinito.

Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del [[teorema de Mills]], que indica que existe una constante θ tal que
:<math>\lfloor \theta^{3^n}\rfloor</math>

es siempre un número primo, donde <math>\lfloor \rfloor</math> es la [[función parte entera|función piso]]. Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular la constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así llamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden ser obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la [[hipótesis de Riemann]].

=== Clases de primos ===
De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

==== Primos primoriales y primos factoriales ====
{{VT|Número primo primorial|número primo factorial}}
Los [[número primo primorial|números primos primoriales]], directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de la forma ''p'' = ''n''#&nbsp;±&nbsp;1 para algún número natural ''n'', donde [[primorial|''n''#]] es igual al producto 2&nbsp;·&nbsp;3&nbsp;·&nbsp;5&nbsp;·&nbsp;7&nbsp;·&nbsp;11&nbsp;·&nbsp;… de todos los primos ≤&nbsp;n. Asimismo, un número primo se dice [[número primo factorial|primo factorial]] si es de la forma [[factorial|''n''!]]&nbsp;±&nbsp;1. Los primeros primos factoriales son:
: ''n''!&nbsp;−&nbsp;1 es primo para ''n'' = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …<ref>{{OEIS|A002982}}</ref>
: ''n''!&nbsp;+&nbsp;1 es primo para ''n'' = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …<ref>{{OEIS|A002981}}</ref>

==== Números primos de Fermat ====
{{VT|Número de Fermat}}
[[Archivo:Pentagon construct.gif|Construcción de un [[pentágono]] regular. 5 es un número primo de Fermat.|thumb]]
Los [[Número primo de Fermat|números de Fermat]], ligados a la construcción de [[polígono regular|polígonos regulares]] con [[regla y compás]], son los números de la forma <math>F_n=2^{2^n} + 1</math>, con ''n'' natural. Los únicos números primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a ''n'' = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de ''n'' entre 5 y 32 estos números son compuestos.<ref name="Keller">{{Cita web|apellido=Keller|nombre=Wilfrid|año=2009|título=Fermat factoring status|url=http://www.prothsearch.net/fermat.html|fechaacceso=1 de julio de 2009}}</ref>

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo [[tiempo de ejecución polinómico|tiempo de ejecución es polinómico]]: el [[test de Pépin]]. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo ha podido aplicar para valores de ''n'' pequeños. En 1999 se lo aplicó para ''n'' = 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayores se utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a julio de 2009 se sabe que hay 241 números de Fermat compuestos.<ref name="Keller" />

==== Números primos de Mersenne ====
{{VT|Número primo de Mersenne}}
Los [[Número primo de Mersenne|números de Mersenne]] son los de forma M<sub>''p''</sub> = 2<sup>''p''</sup> – 1, donde ''p'' es primo. Los mayores números primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el [[test de primalidad de Lucas-Lehmer|test de Lucas-Lehmer]], para determinar si un número de Mersenne es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es ''M<sub>43.112.609</sub>'' = 2<sup>43.112.609</sup> - 1, que tiene 12.978.189 cifras en el sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el [[23 de agosto]] de [[2008]] gracias al proyecto de [[computación distribuida]] «[[Great Internet Mersenne Prime Search]]» (GIMPS). El 46º número primo de Mersenne fue descubierto dos semanas después, pero es menor que el 45º.

==== Otras clases de números primos ====
Existen literalmente decenas de ''apellidos'' que se pueden añadir al concepto de ''número primo'' para referirse a un subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los [[Número primo pitagórico|números primos pitagóricos]] son los que se pueden expresar en la forma 4''n''+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los [[Número primo de Wieferich|números primos de Wieferich]], que son aquellos números primos ''p'' tales que <math>p^2</math> divide a <math>2^{p-1} - 1</math>.

Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:
*[[Números primos gemelos]]: ''p'' y ''p+2'' lo son si son los dos primos.
*[[Número primo de Sophie Germain]]: dado ''p'' primo, es de Sophie Germain si 2''p'' + 1 también es primo. Una sucesión de números <math>\{p_1,p_2,p_3,\dots ,p_n\}</math>, todos ellos primos, tales que <math>p_{i+1}=2p_i+1</math> para todo <math>i \in \{1,2, \dots ,n-1 \}</math>, se denomina [[cadena de Cunningham|cadena (completa) de Cunningham de primera especie]], y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo <math>n</math> natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud <math>n</math>, aunque no se conoce ningún método directo para generar dichas cadenas.
*[[Número primo de Wagstaff]]: ''p'' lo es si <math>p={{2^q+1}\over 3}</math>, donde ''q'' es otro número primo.

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los [[número omirp|números ''somirp'']] (''primos'' al revés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo. También es el caso de los [[número primo repunit|números primos repunit]], que son aquellos números primos que son concatenación de unos. Si, en lugar de considerarse el [[sistema de numeración decimal]] se considera el [[sistema de numeración binario|binario]], se obtiene otro conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne. Finalmente, los [[número primo triádico|números primos triádicos]] son aquellos números que son primos, [[número capicúa|capicúas]] y simétricos respecto de una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún [[número primo de Wall-Sun-Sun]], pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del [[último teorema de Fermat]], se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo ''p'' dado implicaba que ''p'' era un número primo de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también la búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.

== Conjeturas ==
Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.

=== Hipótesis de Riemann ===
{{VT|Hipótesis de Riemann}}

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en [[1859]] pero que, [[abril de 2009|hasta la fecha]], sigue sin resolverse, es necesario entender la [[función zeta de Riemann]]. Sea <math>s</math> un [[número complejo]] con [[parte real]] mayor que 1. Entonces,
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.</math>
La segunda igualdad es una consecuencia del [[teorema fundamental de la aritmética]], y muestra que la función zeta está íntimamente relacionada con los números primos.

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores ''s'' para los cuales ζ(''s'') = 0: los ''triviales'', que son ''s''=-2, ''s''=-4, ''s''=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los ''no triviales'', que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.

La relación con los números primos es que la hipótesis dice en esencia que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista físico, dice ''grosso modo'' que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según el [[teorema de los números primos]], la proporción de primos menores que ''n'' es <math>\tfrac{1}{ln(n)}</math>) también es cierta para intervalos mucho menores, de aproximadamente la raíz cuadrada de ''n'' (para intervalos próximos a ''n''). Está ampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más simple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena razón.

=== Otras conjeturas ===
==== Infinitud de ciertos tipos de números primos ====
Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos [[número primo de Fibonacci|números primos de Fibonacci]]<ref>Caldwell, Chris, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48 ''The Top Twenty: Lucas Number''] en [[The Prime Pages]]. Consultado el 1 de junio de 2009 (en inglés)</ref> e infinitos [[número primo de Mersenne|primos de Mersenne]], pero sólo un número finito de [[número primo de Fermat|primos de Fermat]].<ref>Por ejemplo, véase {{citation|last=Guy|first=Richard K.|title=Unsolved Problems in Number Theory|publisher=Springer-Verlag|year=1981}}, problema A3, pp. 7–8.</ref> No se sabe si hay infinitos [[número primo de Euclides|números primos de Euclides]].

==== Distribución de los números primos ====
También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, la [[conjetura de los números primos gemelos]] enuncia que hay infinitos [[números primos gemelos]], que son pares de primos cuya diferencia es de 2. La [[conjetura de Polignac]] es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo ''n'', hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2''n''. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo [[número par]] es la diferencia de dos números primos.
Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma ''n''<sup>2</sup> + 1. Según la [[conjetura de Brocard]], entre los cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La [[conjetura de Legendre]] establece que, para cada ''n'' natural, existe un número primo entre ''n''<sup>2</sup> y (''n''+1)<sup>2</sup>. Finalmente, la [[conjetura de Cramér]], cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n)^2} = 1</math>.

==== Teoría aditiva de números ====
Otras conjeturas relacionan algunas [[teoría aditiva de números|propiedades aditivas]] de los números con los números primos. Así, la [[conjetura de Goldbach]] dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunque también existe una [[conjetura débil de Goldbach|versión más débil]] de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

=== Los cuatro problemas de Landau ===
En 1912, [[Edmund Landau|Landau]] estableció en el [[Congreso Internacional de Matemáticos|Quinto Congreso Internacional de Matemáticos]] de Cambridge una lista de cuatro de los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los [[problemas de Landau]]. Ninguno de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de Legendre y la de los primos de la forma ''n''<sup>2</sup> + 1.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LandausProblems.html Mathworld - Landau's Problems] (en inglés)</ref>

== Generalización del concepto de número primo ==
El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de las matemáticas.

=== Elementos primos en un anillo ===
[[Archivo:Gaussian primes.png|thumb|250px|Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a 500. Los primos gaussianos son, por definición, los [[entero gaussiano|enteros gaussianos]] que son primos.]]
Se pueden definir los [[elemento primo|elementos primos]] y los [[elemento irreducible|elementos irreducibles]] en cualquier [[dominio de integración]]. En cualquier [[dominio de factorización única]], como el anillo <math>\mathbb{Z}</math> de los enteros, el conjunto de elementos primos equivale al conjunto de los elementos irreducibles, que en <math>\mathbb{Z}</math> es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los [[entero gaussiano|enteros gaussianos]] <math>\mathbb{Z} [i]</math>, es decir, los [[número complejo|números complejos]] de la forma <math>a+bi</math> con <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>. Este es un dominio de integración, y sus elementos primos son los [[primo gaussiano|primos gaussianos]]. Cabe destacar que el 2 ''no'' es un primo gaussiano, porque admite factorización como producto de los primos gaussianos <math>(1+i)</math> y <math>(1-i)</math>. Sin embargo, el elemento 3 sí es primo en los enteros gaussianos. En general, los primos racionales (es decir, los elementos primos del anillo <math>\mathbb{Z}</math> de los enteros) de la forma <math>4k+3</math> son primos gaussianos, pero no lo son aquellos de la forma <math>4k+1</math>.

=== Ideales primos ===
En [[teoría de anillos]], generalmente se reemplaza la noción de número por la de [[ideal (teoría de anillos)|ideal]]. Los ''[[ideal primo|ideales primos]]'' son una herramienta importante y son tema de estudio en [[álgebra conmutativa]], [[teoría algebraica de números]] y [[geometría algebraica]]. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometidos a una extensión de cuerpos.<!--A central problem in algebraic number theory is how a prime ideal factors when it is ''lifted'' to an extension field.--> En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ''ramifica'' en potencia de un primo (ya que <math>1+i</math> y <math>1-i</math> generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma <math>4k+3</math> son ''inertes'' (mantienen su primalidad) y los de la forma <math>4k+1</math> pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

=== Primos en teoría de la valoración ===
En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>\mathbb{K}</math>, se consideran las [[valoración (álgebra)|valoraciones]] sobre <math>\mathbb{K}</math>, determinadas funciones de <math>\mathbb{K}</math> en <math>\mathbb{R}</math>. Cada una de estas valoraciones genera una [[cuerpo topológico|topología sobre <math>\mathbb{K}</math>]], y se dice que dos valoraciones son ''equivalentes'' si generan la misma topología. Un ''primo de <math>\mathbb{K}</math>'' es una [[clase de equivalencia]] de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo <math>\mathbb{Q}</math> de los [[número racional|números racionales]] quedan representados por la función [[valor absoluto]] así como por las [[número p-ádico|valoraciones ''p''-ádicas]] sobre <math>\mathbb{Q}</math> para cada número primo ''p''.
<!--In algebraic number theory, yet another generalization is used. Given an arbitrary [[field (mathematics)|field]] ''K'', one considers [[valuation]]s on ''K'', certain functions from ''K'' to the real numbers '''R'''. Every such valuation yields a [[topological field|topology on ''K'']], and two valuations are called ''equivalent'' if they yield the same topology. A ''prime of K'' (sometimes called a ''place of K'') is an [[equivalence class]] of valuations. With this definition, the primes of the field '''Q''' of [[rational number]]s are represented by the standard [[absolute value]] function (known as the [[infinite prime]]) as well as by the [[p-adic number|''p''-adic valuations]] on '''Q''', for every prime number ''p''.-->

=== Nudos primos ===
{|class="wikitable" style="margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;" align="right"
|[[Archivo:TrefoilKnot-01.png|Trefoil|50 px]] || [[Archivo:PrimeKnot-4-1.png|Figure-8 knot]] || [[Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png|Cinquefoil]] || [[Archivo:PrimeKnot-5-2.png]]
|-
| colspan="4" |Algunos nudos primos.
|}
En [[teoría de nudos]], un [[nudo primo]] es un [[nudo (matemáticas)|nudo]] no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños. De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como [[suma conexa]] de dos nudos no triviales.

En [[1949]] [[Horst Schubert]] demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, que asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/PrimeKnot.html En Mathworld]. (en inglés)</ref> Por este motivo, los nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales del siglo XIX el tema central de la teoría.

== Aplicaciones en la computación ==
{{AP|Algoritmo RSA}}
El [[RSA|algoritmo RSA]] se basa en la obtención de la [[Criptografía de clave pública|clave pública]] mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10<sup>100</sup>) que sean primos. La seguridad de este [[algoritmo]] radica en que no se conocen maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando [[Computadora|computadoras tradicionales]].

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Véase también ==
{{portal|Matemática}}
*[[Criptografía]]
*[[Matemática]]
*[[Espiral de Ulam]]
*[[Test de primalidad]]
*[[Anexo:Tabla de factores primos|Tabla de factores primos]]

== Enlaces externos ==

'''En inglés:'''
* [http://www.utm.edu/research/primes The Prime Pages]
* Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic polynomial-time algorithm that determines whether an input number ''n'' is prime or composite" [http://members.cox.net/mathmistakes/primes.htm mathmistakes]
* [http://www.troubleshooters.com/codecorn/primenumbers/primenumbers.htm Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt]
* [http://www.mste.uiuc.edu/html.f/resource/prime.html ¿Es este número primo?]

'''En castellano:'''
* [http://www.misteriosprimos.com.ar "Misterios Primos" Libro sobre Números Primos]

{{destacado|ru}}
{{Destacado|lmo}}

[[Categoría:Números primos| ]]

[[af:Priemgetal]]
[[an:Numero primero]]
[[ang:Frumtæl]]
[[ar:عدد أولي]]
[[arz:عدد أولي]]
[[az:Sadə ədəd]]
[[be-x-old:Просты лік]]
[[bg:Просто число]]
[[bn:মৌলিক সংখ্যা]]
[[br:Niveroù kentael]]
[[bs:Prost broj]]
[[ca:Nombre primer]]
[[cs:Prvočíslo]]
[[cy:Rhif cysefin]]
[[da:Primtal]]
[[de:Primzahl]]
[[el:Πρώτος αριθμός]]
[[en:Prime number]]
[[eo:Primo]]
[[et:Algarv]]
[[eu:Zenbaki lehen]]
[[fa:عدد اول]]
[[fi:Alkuluku]]
[[fr:Nombre premier]]
[[ga:Uimhir phríomha]]
[[gl:Número primo]]
[[haw:Helu kumu]]
[[he:מספר ראשוני]]
[[hr:Prost broj]]
[[ht:Nonm premye]]
[[hu:Prímszámok]]
[[id:Bilangan prima]]
[[is:Frumtala (stærðfræði)]]
[[it:Numero primo]]
[[ja:素数]]
[[ka:მარტივი რიცხვი]]
[[ko:소수 (수론)]]
[[la:Numerus primus]]
[[lb:Primzuel]]
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[[lt:Pirminis skaičius]]
[[lv:Pirmskaitlis]]
[[ml:അഭാജ്യസംഖ്യ]]
[[mn:Энгийн тоо]]
[[ms:Nombor perdana]]
[[nds:Primtall]]
[[nl:Priemgetal]]
[[nn:Primtal]]
[[no:Primtall]]
[[pl:Liczby pierwsze]]
[[pms:Nùmer prim]]
[[pt:Número primo]]
[[ro:Număr prim]]
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[[si:ප්‍රථමික සංඛ්‍යා]]
[[simple:Prime number]]
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[[sw:Namba tasa]]
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[[ta:பகா எண்]]
[[th:จำนวนเฉพาะ]]
[[tr:Asal sayılar]]
[[uk:Просте число]]
[[ur:مفرد عدد]]
[[uz:Tub son]]
[[vi:Số nguyên tố]]
[[vls:Priemgetal]]
[[yi:פרימצאל]]
[[yo:Nọ́mbà àkọ́kọ́]]
[[zh:素数]]
[[zh-min-nan:Sò͘-sò͘]]
[[zh-yue:質數]]

Revisión del 17:31 2 jun 2009

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