Notación Steinhaus–Moser

En matemáticas, la notación Steinhaus–Moser es una notación para expresar números extremadamente grandes con seguridad. Es una extensión de la notación polígono de Steinhaus.

Definiciones[editar]

un número

n

en un triángulo significa

n n

un número

n

en un cuadrado es equivalente a "el número

n

dentro de

n

triángulos, los cuales están todos anidados."

un número en un pentágono es equivalente a "el número

n

dentro de

n

cuadrados, los cuales están todos anidados."

etc.: $n$ escrito en un polígono de $m$ lados es equivalente a "el número $n$ dentro de $n$ polígonos anidados de ( $m - 1$ ) lados". En una serie de polígonos anidados, estos están asociados hacia adentro. El número $n$ dentro de dos triángulos es equivalentes a $n n$ dentro de un triángulo, el cual es equivalente a $n n$ elevado a la potencia $n n$ .

Steinhaus solo definió el triángulo, el cuadrado, y un círculo , el equivalente al pentágono definido anteriormente.

Valores especiales[editar]

Moser definió:

mega es el equivalente al número 2 en un pentagono:
megiston es el equivalente al número 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagón", donde un megagón es un polígono con "mega" lados.

Notaciones alternativas:

Utilizar la cuadrado de funciones(x) y triángulo(x)
Dejar M( $M(n, m, p)$ , $M(n, m, p)$ , $M(n, m, p)$ ) ser el número representado por el número $n$ en $m$ anidado p cara polígonos; entonces las reglas son:
Y
- mega = $M(2,1,5)$
- megagón = $M(10,1,5)$
- moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

Mega[editar]

Un mega, ②, es ya un número muy grande, desde ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(22)) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(44) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256256)...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(3.2 × 10616)...))) [254 triángulos] = ...

Utilizando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función hemos mega = $f(x)=x^{x}$ $f^{256}(256)=f^{258}(2)$ dónde el superíndice denota un potencia funcional, no una potencia numérica.

Tenemos (nota la convención que las potencias están evaluadas de derechas a izquierdas):

M(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
M(256,3,3) = ≈ $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$ $256^{\,\!256^{256^{257}}}$

De modo parecido:

M(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
M(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$

etc.

Así:

mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$ , dónde $(256\uparrow )^{256}$ denota una potencia funcional de la función $f(n)=256^{n}$ .

Redondeando más crudamente (reencuadradando el 257 al final por 256), conseguimos mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$ , utilizando la notación flecha de Knuth.

Después de los pocos pasos iniciales, el valor de es cada vez aproximadamente igual a $n^{n}$ $256^{n}$ . De hecho, es incluso aproximadamente igual a $10^{n}$ . Utilizando base 10 poderes, conseguimos:

$M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ( $\log _{10}616$ está añadido al 616)
$M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ( $619$ está añadido al $1.99\times 10^{619}$ , el cual es insignificante; por tanto justo un 10 está añadido en el inferior)

...

mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}$ , dónde denota un poder funcional de la función $(10\uparrow )^{255}$ $f(n)=10^{n}$ . De ahí $10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$