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Modelo de Fermi-Ulam

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El Modelo Fermi-Ulam (FUM, por sus siglas en inglés) es un sistema dinámico que fue introducido por el matemático polaco Stanislaw Ulam en 1961

FUM es una variante del trabajo primordial en aceleración de rayos cósmicos de Enrico Fermi. El sistema consiste en una partícula que colisiona elásticamente entre una pared fija y una pared móvil, cada una de masa infinita. Las paredes representan espejos magnéticos con el que las partículas cósmicas colisionan.

A. J. Lichtenberg y M. A. Lieberman establecieron una versión simplificada de FUM (SFUM) que deriva a partir de una aplicación de Poincaré y dicta:


Donde es la velocidad de la partícula después de la n-ésima colisión con la pared fija, es la fase correspondiente de la pared móvil, es la ley de velocidad para la pared móvil y es el parámetro de estocaticidad del sistema.

Si la ley de velocidad de la pared móvil es lo suficientemente diferenciable, de acuerdo al teorema KAM existe curvas invariantes en el espacio de fases . Estas curvas invariantes actúan como barreras que no permiten a la partícula acelerar y la velocidad promedio de la población de partículas se satura luego de iteraciones finitas. Por lo tanto, para una ley de velocidad sinusoidal para la pared móvil estas curvas existen, mientras que no existe para una ley de velocidad en forma de sierra, que es discontinua. En consecuencia, en el primer caso las partículas no pueden acelerar infinitamente, mientras que lo contrario sucede en el otro caso.

Con el paso de los años, FUM se convirtió en un modelo prototipo para estudiar dinámica no lineal y mapeos acoplados.

La solución rigurosa del problema Fermi-Ulam (dónde la velocidad y la energía están acotadas) fue proporcionada por primera vez por L. D. Pustyl'nikov en[1]​ (ver también[2]​ y las referencias).

Además de los resultados negativos, si uno considera el modelo Fermi-Ulam en el marco de la relatividad especial, bajo algunas condiciones generales de energía de las partículas, estas tienden a infinito para un conjunto abierto de datos iniciales.[3]​

Generalización en 2D

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Aunque el modelo Fermi-Ulam en 1D no conduce a la aceleración para oscilaciones suaves, el crecimiento de energía no acotado ha sido observado en billares 2D con oscilaciones acotadas.[4]​[5]​[6]​ Se ha encontrado que la tasa de crecimiento de la energía en el billar caótico es mucho más grande que en la de un billar que es integrable en el límite estático.

Billares fuertemente caóticos con bordes oscilantes pueden servir de un paradigma de sistemas impulsados caóticos.[7]​ En la arena experimental este tema surge en la teoría de fricción nuclear,[8]​[9]​[10]​ y más recientemente, en los estudios de átomos fríos que están atrapados en billares ópticos. El impulso induce la disfusión de energía,[11]​[12]​, y en consecuencia el coeficiente de absorción está determinado por la fórmula de Kubo.[13]​[14]​[15]​[16]​

Referencias

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  1. ↑ L.D. Pustyl'nikov, (1983). On a problem of Ulam. Teoret. Mat.Fiz.57, 128-132. Engl. transl. in Theoret. Math. Phys. 57.
  2. ↑ L. D. Pustyl'nikov (1995). «Poincaré models, rigorous justification of the second law of thermodynamics from mechanics, and Fermi acceleration mechanism». Russian Math. Surveys 50 (1): 145-189. Bibcode:1995RuMaS..50..145P. doi:10.1070/RM1995v050n01ABEH001663. 
  3. ↑ L. D. Pustyl'nikov (1988). «A new mechanism for particle acceleration and a relativistic analogue of the Fermi-Ulam model». Theoret. Math. Phys. 77 (1): 1110-1115. Bibcode:1988TMP....77.1110P. doi:10.1007/BF01028687. 
  4. ↑ Loskutov A., Ryabov A. B., Akinshin L. G. (2000). «Properties of some chaotic billiards with time-dependent boundaries». J. Phys. A: Math. Gen. 33 (44): 7973. Bibcode:2000JPhA...33.7973L. doi:10.1088/0305-4470/33/44/309. 
  5. ↑ Gelfreich V., Turaev D. (2008). «Fermi acceleration in non-autonomous billiards». J. Phys. A: Math. Theor. 41 (21): 212003. Bibcode:2008JPhA...41u2003G. doi:10.1088/1751-8113/41/21/212003. 
  6. ↑ F. Lenz; F. K. Diakonos; P. Schmelcher (2008). «Tunable Fermi Acceleration in the Driven Elliptical Billiard». Phys. Rev. Lett. 100 (1): 014103. Bibcode:2008PhRvL.100a4103L. PMID 18232773. arXiv:0801.0641. doi:10.1103/PhysRevLett.100.014103. 
  7. ↑ Driven chaotic mesoscopic systems,dissipation and decoherence, in Proceedings of the 38th Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Edited by P. Garbaczewski and R. Olkiewicz (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061
  8. ↑ D.H.E. Gross (1975). «Theory of nuclear friction». Nucl. Phys. A 240 (3): 472-484. Bibcode:1975NuPhA.240..472G. doi:10.1016/0375-9474(75)90305-X. 
  9. ↑ Blocki J., Boneh Y., Nix J.R., Randrup J., Robel M., Sierk A.J., Swiatecki W.J. (1978). «One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei». Ann. Phys. 113 (2): 330. Bibcode:1978AnPhy.113..330B. doi:10.1016/0003-4916(78)90208-7. 
  10. ↑ Friedman N., Kaplan A., Carasso D., Davidson N. (2001). «Observation of Chaotic and Regular Dynamics in Atom-Optics Billiards». Phys. Rev. Lett. 86 (8): 1518-21. Bibcode:2001PhRvL..86.1518F. PMID 11290182. doi:10.1103/physrevlett.86.1518. 
  11. ↑ E. Ott (1979). «Goodness of Ergodic Adiabatic Invariants». Phys. Rev. Lett. 42 (24): 1628-1631. Bibcode:1979PhRvL..42.1628O. doi:10.1103/PhysRevLett.42.1628. 
  12. ↑ R. Brown; E. Ott; C. Grebogi (1987). «Ergodic Adiabatic Invariants of Chaotic systems». Phys. Rev. Lett. 59 (11): 1173-1176. Bibcode:1987PhRvL..59.1173B. PMID 10035162. doi:10.1103/PhysRevLett.59.1173. 
  13. ↑ Wilkinson M (1988). «Statistical aspects of dissipation by Landau-Zener transitions». J. Phys. A 21 (21): 4021. Bibcode:1988JPhA...21.4021W. doi:10.1088/0305-4470/21/21/011. 
  14. ↑ Cohen D (2000). «Chaos and Energy Spreading for Time-Dependent Hamiltonians, and the Various Regimes in the Theory of Quantum Dissipation». Annals of Physics 283 (2): 175. Bibcode:2000AnPhy.283..175C. arXiv:cond-mat/9902168. doi:10.1006/aphy.2000.6052. 
  15. ↑ Barnett A., Cohen D., Heller E.J. (2000). «Deformations and Dilations of Chaotic Billiards: Dissipation Rate, and Quasiorthogonality of the Boundary Wave Functions». Phys. Rev. Lett. 85 (7): 1412-5. Bibcode:2000PhRvL..85.1412B. PMID 10970517. arXiv:nlin/0003018. doi:10.1103/physrevlett.85.1412. 
  16. ↑ Barnett A., Cohen D., Heller E.J. (2001). «Rate of energy absorption for a driven chaotic cavity». J. Phys. A 34 (3): 413-438. Bibcode:2001JPhA...34..413B. arXiv:nlin/0006041. doi:10.1088/0305-4470/34/3/308. 

Enlaces externos

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  • Dinámica regular y Caótica: Un libro científico ampliamente reconocido que explica FUM, escrito por A. J. Lichtenberg Y M. A. Lieberman (Appl. Matemática. Sci. vol 38) (Nueva York: Salmer).
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