Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

• $(X,{\mathcal {A}})$ un espacio medible, es decir ${\mathcal {A}}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $X$.
• $H\$ un espacio de Hilbert.
• $\pi \$ una aplicación de ${\mathcal {A}}$ al conjunto de proyecciones ortogonales de $H$.

$\pi \$ es una medida espectral si y solamente si

• $\pi (X)=\operatorname {id} _{H}\quad$
• Si $\{E_{i}:i\in \mathbb {N} \}$ es una sucesión de elementos de ${\mathcal {A}}$ disjuntos entre sí, entonces las proyecciones $\{\pi (E_{i}):i\in \mathbb {N} \}\quad$

son ortogonales entre sí y

$\pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})=\sum _{i\in \mathbb {N} }\pi (E_{i})$

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector $x\in H$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\pi (E_{k})x=\pi (\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i})x$

Referencias

• G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

• Datos: Q339722