Diferencia entre revisiones de «Mediana (estadística)»

← Ir a diferencia anterior Ir a siguiente diferencia →

Contenido eliminado Contenido añadido

En renglón

Revisión del 22:47 19 abr 2010

En el ámbito de la estadística, una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.

Cálculo

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se halla las frecuencias absolutas acumuladas $N_{i}$ . Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene $X(39+1)/2=X20$ .

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2 : Cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Ni+w
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas $N_{i}$ . $N_{i}$ . Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene $X(38/2)=X19$ .

Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1.80 y 1.70 hay 3 estudiantes.
Entre 1.70 y 1.60 hay 5 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.50 hay 2 estudiantes.

Mediana=1.60+\left({\frac {(10/2)-2}{5}}\right)0.1=1.66

Método de cálculo general

x_i	f_i	N_i
[x₁₁-x₁₂]	f₁	N₁
.	.	.
.	.	.
.	.	N_(i-2)
[x_(i-1)₁-x_(i-1)₂]	f_(i-1)	f_(i-1)-N_(i-2)=N_(i-1)
[x_i₁-x_i₂]	f_i	f_i-N_i-1=N_i
[x_(i+1)₁-x_(i+1)₂]	f_(i+1)	f_(i+1)-N_i=N_(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.	.
[x_M₁-x_M₂]	f_M	f_M-N_(M-1)=N_M

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo
- x_M₂ valor máximo
- [x_i₁-x_i₂] primer intervalo situado por encima de $({\cfrac {N_{M}}{2}})$

Entonces:

Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})

Método proyectivo

Con base en el método proyectivo, se puede obtener la mediana para datos agrupados de la siguiente forma:

1. Tomar el número total de frecuencias y dividirlo entre dos.
2. Restar a ese número el total de frecuencias de las clases anteriores a la clase mediana.
3. Usar el número obtenido para hacer un cambio del doble superior de escala entre las frecuencias de la clase mediana y sus rangos para obtener la distancia parcial
4. Sumamos la distancia parcial obtenida a el límite inferior de la clase.

Usando el ejemplo anterior:

1. El número total de frecuencias es de; (3+5+2)/2 = 10/2 = 5
2. El total de frecuencias anteriores es 2; (5 - 2) = 3
3. Hacemos el cambio de escalas:

\ 3:5::x:0.10

Resolviendo:

\ x={\frac {(0.10)(3)}{5}}=0.06

la mediana es la suma de todos los datos dividido entre el numero de datos

4. Se suma la distancia parcial al límite inferior:

\ Mediana=0.06+1.60=1.66

Véase también

@@ Línea 3: / Línea 3: @@
 == Cálculo ==
-Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.
-=== Datos sin agrupar ===
-Sean <math>x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n</math> los datos de una muestra ''ordenada en orden creciente'' y designando la mediana como <math>M_e</math>, distinguimos dos casos:
-a) Si ''n es impar'', la mediana es el valor que ocupa la posición <math>{\frac {n+1} {2}}</math> una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: <math>M_e=x_{\frac {n+1} {2}}</math>.
-Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: <math>x_1 = 3</math>, <math>x_2 = 6</math>, <math>x_3 = 7</math>, <math>x_4 = 8</math>, <math>x_5 = 9</math> => El valor central es el tercero: <math>x_{\frac {5+1} {2}} = x_3 = 7</math>. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (<math>x_1</math>, <math>x_2</math>) y otros dos por encima de él (<math>x_4</math>, <math>x_5</math>).
-b) Si ''n es par'', la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones <math>{\frac {n} {2}}</math> y <math>{\frac {n} {2}}+1</math>. Es decir:
-<math>M_e = \frac {x_{\frac {n} {2}} + x_{\frac {n} {2}+1}}{2}</math>.
-Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: <math>x_1 = 3</math>, <math>x_2 = 6</math>, <math>x_3 = 7</math>, <math>x_4 = 8</math>, <math>x_5 = 9</math>, <math>x_6 = 10</math> => Hay dos valores que están por debajo del <math>x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7</math> y otros dos que quedan por encima del siguiente dato <math>x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8</math>. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: <math>M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5</math>.
-=== Datos agrupados ===
-Al tratar con datos agrupados, si <math> {{\frac {n} {2}}} </math> coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la [[abscisa]] correspondiente.
-Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el [[histograma]] o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
-[[Archivo:davicrege3.JPG]]
-Dónde <math>N_{i}</math> y <math>N_{i-1}</math> son las frecuencias absolutas tales que <math>N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}</math>, <math>a_{i-1}</math> y <math>a_{i}</math> son los
-extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y <math>M_e=a_{i-1}</math> es la abscisa a calcular, la moda.
-Se observa que <math>a_{i} - a_{i-1}</math> es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
 == Ejemplos para datos sin agrupar ==