Material de Mooney-Rivlin

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En mecánica de sólidos, un material del Mooney–Rivlin[1] [2] es un tipo de material hiperelástico modelizable mediante una función densidad de energía de deformación que es una combinación lineal de dos invariantes algebraicos del tensor tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo . El modelo de Mooney-Rivlin fue propuesto inicialmente por Melvin Mooney en 1940 y fue reformulado en términos de invariantes algebraicos por Ronald Rivlin en 1948.

La función densidad de energía de deformación para un material de Mooney-Rivlin incompresible viene dada por:[3] [4]

donde y son constantes que se determinan empíricamente para cada material concreto y y son el primer invariante (invariante lineal) y segundo invariante (invariante cuadrático) del componente unimodular del tensor de Cauchy-Green:[5]

donde es el gradiente de deformación. Para un material incompresible, .

Derivación[editar]

El material de Mooney-Rivlin es un caso especial de "material de Rivlin generalizado" (también llamado modelo hiperelástico polinómico[6] ) que tiene la forma:

con donde son constantes materiales relacionadas con la respuesta frente a distorsión o cambio de forma y son las constantes elásticas relacionadas con el cambio de volumen. Para un material compresible de Mooney-Rivlin y se tiene:

Si se obtiene un material neohookeano, un caso especial de material de Mooney-Rivlin. Por consistencia con la elasticidad lineal en el límite de las pequeñas deformaciones, es necesario que se satisfaga la condición:

donde es el módulo de compresibilidad y es el módulo de elasticidad transversal.

Tensor de tensiones de Cauchy e invariantes de deformación[editar]

El tensor de tensiones de Cauchy de un material hiperelástico compresible que posee un estado natural (sin tensión) viene dado por:

Para un material de Mooney-Rivlin compresible,

Por tanto, el tensor de tensiones de Cauchy de un material de Mooney–Rivlin compresible viene dado por:

A partir de lo anterior puede demostrarse, que la presión viene dada por

La tensión puede expresarse en la forma

La anterior ecuación se escribe frecuentemente como:

donde:

Para un material de Mooney-Rivlin incompresible con

Nótese que si entonces:

Entonces, del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que:

De ahí se tiene que el tensor de tensiones de Cauchy puede expresarse también como:

donde

Tensión de en términos de alargamientos principales[editar]

En términos de los alargamientos principales, el tensor de tensiones de Cauchy para un material hiperelástico incompresible viene dada por:

para un material de Mooney-Rivlin incompresible:

Por tanto,

Puesto que , se puede escribir como:

Entonces las expresiones para el tensor de tensiones de Cauchy se expresan como:


Caucho[editar]

La respuesta elástica de materiales de tipo goma o caucho se modeliza frecuentemente como un material de Mooney—Rivlin model. Las constantes se determinan experimentalmente ajustando los datos experimentales mediante las ecuaciones anteriores. Los ensayos recomendados son el ensayo uniaxial de tracción, la compresión y tracción equibiaxiales, la compresión uniaxial, y para la respuesta de cortante la tracción y compresión planas. Los dos parámetros del modelo de Mooney–Rivlin proporcionan respuestas adecuadas para deformaciones inferiores al 100%.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Mooney, M., 1940, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics, 11(9), pp. 582-592.
  2. Rivlin, R. S., 1948, Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(835), pp. 379-397.
  3. Boulanger, P. and Hayes, M. A., 2001, Finite amplitude waves in Mooney–Rivlin and Hadamard materials, in Topics in Finite Elasticity, ed. M. A Hayes and G. Soccomandi, International Center for Mechanical Sciences.
  4. C. W. Macosko, 1994, Rheology: principles, measurement and applications, VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5.
  5. El polinomio característico de un operador lineal corresponde al tensor tridimensional de Finger de segundo orden (también llamado tensor deformación de Cauchy-Green izquierdo) se escribe usualmente como
    In this article, the trace is written , the next coefficient is written , and the determinant would be written .
  6. Bower, Allan (2009). Applied Mechanics of Solids. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0247-2. Consultado el enero de 2010. 

Bibliografía[editar]

  • R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.