Ley de Coulomb

La ley de Coulomb puede expresarse como:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Desarrollo de la ley

Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a regresarla a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra.La ley de Coulomb tambien conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas electricas de un material, es decir , depende de sus cargas sean negativas o positivas.

Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia.

En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

• La fuerza de interacción entre dos cargas $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}\,\!$     y     $F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{2}\,\!$

en consecuencia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2}\,\!$

• Si la distancia entre las cargas es $r\,\!$, al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar $r\,\!$, la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $1 \over r^{2}\,\!$

Asociando ambas relaciones:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2} \over r^{2}\,\!$

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

$F=\kappa {\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$

Enunciado de la ley

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud $F\,\!$ de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ ejerce sobre la otra separadas por una distancia $d\,\!$ se expresa como:

$F=\kappa {\frac {\left|q_{1}\right|\left|q_{2}\right|}{d^{2}}}\,\!$

Dadas dos cargas puntuales $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$ separadas una distancia $d\,\!$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud está dada por:

$F=\kappa {\frac {q_{1}q_{2}}{d^{2}}}\,\!$

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}\cdot q_{2}}{d^{2}}}{\vec {u}}_{d}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}q_{1}\cdot q_{2}{\frac {({\vec {d_{2}}}-{\vec {d_{1}}})}{|{\vec {d}}_{2}-{\vec {d}}_{1}|^{2}}}\,\!$

donde ${\vec {u}}_{d}\,\!$ es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

Al aplicar esta fórmula en un ejercicio ,se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2 ,según sean éstas positivas o negativas.

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma $(2+\delta )\,\!$, entonces $\left|\delta \right|<10^{-16}\,\!$.

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$. La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

Constante de Coulomb

La constante $\kappa \,\!$ es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es ${\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\!$ Nm²/C².

A su vez la constante $\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,\!$ donde $\varepsilon _{r}\,\!$ es la permitividad relativa, $\varepsilon _{r}>=1\,\!$, y $\varepsilon _{0}=8,85\times 10^{-12}\,\!$ F/m es la permitividad del medio en el vacío.

Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material.

Algunos valores son:

Material	$\varepsilon _{r}\,\!$	$\varepsilon \,\!$ (F/m)	$\kappa \,\!$ (Nm²/C²)
Vacío	1	8,85·10-12	8,99·109
Parafina	2,1-2,2	1,90·10-11	4,16·109
Mica	6-7	5,76·10-11	1,38·109
Papel parafinado	2,2	1,95·10-11	4,09·109
Poliestireno	1,05	9,30·10-12	8,56·109
Baquelita	3,8-5	3,90·10-11	2,04·109
Cirbolito	3-5	3,54·10-11	2,25·109
Vidrio orgánico	3,2-3,6	3,01·10-11	2,64·109
Vidrio	5,5-10	6,86·10-11	1,16·109
Aire	1,0006	8,86·10-12	8,98·109
Mármol	7,5-10	7,75·10-11	1,03·109
Ebonita	2,5-3	2,43·10-11	3,27·109
Porcelana	5,5-6,5	5,31·10-11	1,50·109
Micalex	7-9	7,08·10-11	1,12·109
Micarta A y B	7-8	6,64·10-11	1,20·109
Batista barnizada	3,5-5	3,76·10-11	2,11·109
Goma en hojas	2,6-3,5	2,70·10-11	2,95·109
Polietileno	2,7	2,39·10-11	3,33·109

La ecuación de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:

$F=\kappa {\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!$

Principio de superposición y la Ley de Coulomb

Como ley básica adicional, no deducible de la ley de Coulomb, se encuentra el Principio de Superposición:

"La fuerza total ejercida sobre una carga eléctrica q por un conjunto de cargas $q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{N}\,\!$ será igual a la suma vectorial de cada una de las fuerzas ejercidas por cada carga $q_{i}\,\!$ sobre la carga $q\,\!$."

${\vec {F}}=\sum _{i}^{N}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}^{N}\kappa {\frac {q_{i}q}{r_{i}^{2}}}{\vec {u_{r}}}_{i}\,\!$

Representación gráfica del principio de superposición

Conjuntamente, la Ley de Coulomb y el Principio de Superposición constituyen los pilares de la electrostática.

Verificación experimental de la Ley de Coulomb

Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo.

Considérense dos pequeñas esferas de masa "m" cargadas con cargas iguales que del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura.

Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas $F_{1}\,\!$.

En el equilibrio: $T\ \sin \theta _{1}=F_{1}\,\!$ (1) y $T\ \cos \theta _{1}=mg\,\!$ (2).

Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene: ${\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$

Siendo $L_{1}\,\!$ la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza $F_{1}\,\!$ de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb: $F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}\,\!$ y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: ${\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$ (3)

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada , cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será $L_{2}<L_{1}\,\!$ y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por: $F_{2}={\frac {{\left({\frac {q}{2}}\right)}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}\,\!$

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba: $F_{2}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$.

Y de modo similar se obtiene: ${\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$ (4)

Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

${\frac {\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}{\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}}={\frac {mg.\tan \theta _{1}}{mg.\tan \theta _{2}}}\Longrightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}=\,\!$ ${\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\,\!$ (5)

Midiendo los ángulos $\theta _{1}\,\!$ y $\theta _{2}\,\!$ y las separaciones entre las cargas $L_{1}\,\!$ y $L_{2}\,\!$ es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental.

En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:

$\tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{l}}={\frac {L}{2l}}\Longrightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}$

Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:

${\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow \,\!$ ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}\,\!$

De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.

Comparación entre la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal

Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria.

La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Expresándolo matemáticamente: $F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!$ siendo $G\,\!$ la constante de gravitación universal, $m_{1}\,\!$ y $m_{2}\,\!$ las masas de los cuerpos en cuestión y r la distancia entre los centros de las masas. $G\,\!$ vale 6,67·10^-11 Nm²/kg².

A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias insoslayables.

La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva.

La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de hidrógeno.

La separación promedio entre el electrón y el protón es de 5,3·10^-11 m.

La carga del electrón y la del protón valen $e^{-}=-1,6\times 10^{-19}C\,\!$ y $p^{+}=1,6\times 10^{-19}C\,\!$ respectivamente y sus masas son $m_{e^{-}}=9,11\times 10^{-31}kg\,\!$ y $m_{p^{+}}=1,67\times 10^{-27}kg\,\!$.

Sustituyendo los datos:

$F_{E}=\kappa {\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}{\frac {-1,6\times 10^{-19}C\times 1,6\times 10^{-19}C}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=8,2\times 10^{-8}N\,\!$

$F_{G}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=6,67\times 10^{-11}{\frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}{\frac {9,11\times 10^{-31}kg\times 1,67\times 10^{-27}kg}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=3,6\times 10^{-47}N\,\!$.

Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional.

Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo.

1 C equivale a la carga que pasa en 1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 V_rms, esto equivale a un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domésticas de 120 V_rms).

Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:

$F_{E}=\kappa {\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}{\frac {1C\times 1C}{{1m}^{2}}}=9\times 10^{9}N\,\!$, o sea, ¡916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un millón de toneladas (un teragramo)!

Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza, ¡aunque tuvieran que arrancarse del acero sólido para hacerlo!

Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿por qué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto.

Limitaciones de la Ley de Coulomb

• La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias.
• La fuerza no está definida para r = 0.

Véase también

• Carga eléctrica
• Campo eléctrico
• Electricidad

Referencias

juliocmp xd