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Lema de Borel-Cantelli

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En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.[1][2][3][4][5]

Definición en probabilidad y demostración

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1º Lema de Borel-Cantelli

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Sea una sucesión de eventos tal que entonces .

Demostración:

Tenemos que . Ya que implica que .

2º Lema de Borel-Cantelli

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Sea una sucesión de eventos tal que y son independientes, entonces .

Demostración:

Tenemos que , donde la última igualdad resulta de la independencia.

Basta ahora probar que .

Recordemos la desigualdad .

Por tanto, .

Definición formal y demostración

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Sea una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida en los reales. es la medida. Sea la integral de f respecto de . Supongamos que:

entonces por convergencia monótona . Por ende la función es finita c.t.p.-.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos en , o sea y la medida es de probabilidad entonces: implica que c.t.p.-, es decir, en , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos tiene probabilidad cero.

Resultado inverso

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Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes en , entonces implica que c.t.p.-, es decir, en , el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos tiene probabilidad uno.

Bibliografía

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Referencias

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  1. «Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  2. «The Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017. Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  3. «The Borel-Cantelli Lemma and its Applications» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  4. «Lema de Borel-Cantelli». Consultado el 29 de mayo de 2019. 
  5. Rincón, Luis (2007). «Curso intermedio de Probabilidad» (en esqañol). UNAM. Consultado el 29 de mayo de 2019.