Integración indefinida

En Cálculo la integral indefinida, primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo integral, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Ejemplo

La integral indefinida o primitiva de la función f(x) = cos(x) en $\Re ,$ es la función F(x) = sen(x) ya que sen′(x) = cos(x). Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sen(x) + C donde C es una variable.

Definición

Dada una función f de dominio (a;b), decimos que F es primitiva de f en (a;b), si y sólo si F ′(x) = f(x) en ese intervalo. Es decir, f es "hija" de F, que surgió gracias a un proceso de derivación. Por lo tanto, el encontrar la función F es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce como integración o antiderivación.

Resumiendo:

F es primitiva de f en (a;b) $\Longleftrightarrow \ F'(x)=f(x)\forall x\in (a;b)$

Uso y propiedades

Luego de definir qué es una primitiva surge la interrogante de en qué caso f posee una primitiva P. Augustin Louis Cauchy probó que toda función f continua posee una primitiva y desarrolló el siguiente teorema que demuestra qué y cuántas primitivas posee una función f.

Diferencial de una función

Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de f por un incremento de la variable (Δx).

En símbolos:

$df=f'(x).\Delta \ x$

Ejemplos:

$dx=1.\Delta \ x$

$dsenx=cosx\Delta \ x$

$d{\mathcal {(}}e^{x})={\mathcal {(}}e^{x}).\Delta x$

De la demostración y ejemplos anteriores podemos deducir la siguiente expresión:

$df=f'(x).\Delta x=f'(x).dx\Leftrightarrow \ f'(x)={\frac {df}{dx}}$

Teorema Esencial

Hipótesis) G: primitiva de f en (a;b)

Tésis) $\ P(x)=G(x)+C,C\in \Re ,\forall x\in (a;b)\Rightarrow$ P: primitiva de f en (a;b)

Demostración)

1) G es primitiva de f en (a;b) por Hipótesis, esto implica que G'(x) = f(x). Donde:

$\ P'(x)=[G(x)+C]'=G'(x)+C'=f(x)+0=f(x)$

Coloquialmente: P es primitiva de f en (a;b)

2) Sean P(x) y G(x) dos primitivas de f en (a;b). Podemos plantear lo siguiente:

$\ [P(x)-G(x)]'=P'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0$

Por tanto: P(x) - G(x) nos da como resultado 0, que es la derivada de una constante que llamaremos C, y demostramos que todo par de primitivas de f difieren en una constante real. En símbolos:

$\ P(x)-G(x)=C$

Extiendo este teorema podemos afirmar que si P es primitiva de f, en realidad f tiene infinitas primitivas, y que todo par de primitivas de esa función difieren en una constante arbitraria real C. A este conjunto de infinitas primitivas de f, [ P(x) + C], se lo denomina Integral Indefinida de f.

${\mathcal {s}}\ f(x).dx=P(x)+C\Leftrightarrow [P(x)+C]'=f(x)$

Donde: ${\mathcal {s}}$ es el símbolo integral, f la función integrando y C la constante de integración.

Ejemplo:

${\mathcal {s}}\ cosx.dx=senx+C$

Propiedades de la integral indefinida

Primera Propiedad

$D{\mathcal {s}}f(x).dx=f(x)$, con f integrable.

Demostración:

Si f es integrable, esto implica que: ${\mathcal {s}}f=P(x)+C\Rightarrow D({\mathcal {s}}f)=D[P(x)+C]=f(x)$

Segunda Propiedad

${\mathcal {s}}Df(x)dx=f(x)+C$, con f derivable

Demostración:

Si tenemos en claro que la derivada del segundo miembro es la función integrando del primer miembro, la demostración toma un carácter inmediato. En símbolos:

$({\mathcal {s}}Df)=f(x)+C$

Nota: De las demostraciones anteriores podemos deducir que al integrar y derivar una misma función de manera simultánea, estos dos procedimientos se anulan. Es decir no tienen efecto alguno sobre la función.

Tercera Propiedad

${\mathcal {s}}{\begin{matrix}\underbrace {(\alpha f\pm \beta g)} \\k\end{matrix}}=\alpha {\mathcal {s}}f.dx\pm \beta {\mathcal {s}}g.dx,\ \alpha ,\beta \ \in \ \Re$ Con f y g integrables.

Demostración:

Si lo expuesto es cierto, la derivada del segundo miembro dará la función integrando k.

$D(\alpha {\mathcal {s}}f\pm \beta {\mathcal {s}}g)=\alpha D{\mathcal {s}}f\pm \beta D{\mathcal {s}}g=\alpha f\pm \beta g$

Esta última propiedad se la conoce como Propiedad Lineal de la Integral Indefinida y posee ciertos casos particulares que se exponen a continuación:

1º Caso) $\beta =0{\mathcal {s}}\alpha f=\alpha {\mathcal {s}}f$ (La constante puede extraerse o insertarse en una integral).

2º Caso) $\alpha =\beta =1{\mathcal {s}}(f\pm g)={\mathcal {s}}f\pm {\mathcal {s}}g$ ( La integral de la suma, es la suma de las integrales).

Aclaración: La tercera propiedad sólo tiene vigencia para un número finito de sumandos. es:Integral y función primitiva