Función de base radial

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Una función de base radial (o radial basis functions, RBF en inglés) es una función real cuyo valor depende sólo de la distancia del origen, de forma tal que , o de forma alternativa de la distancia a algún centro , tal que . Cualquier función que satisfaga se le conoce como función radial. La norma vectorial usada es frecuentemente la norma euclidiana.

Definición[editar]

Una función es llamada radial ya que existe una función univariada tal que

donde , y es alguna norma sobre , usualmente la norma euclidiana.

Esta definición nos dice que, para una función de base radial y el par de puntos , vale decir , implica que , es decir, el valor de la función de base radial es constante para puntos a la misma distancia del origen o del centro fijo elegido, por lo que es radialmente simétrica respecto de su centro.

Tipos[editar]

Los tipos más frecuentes de funciones de base radial se listan a continuación, considerando

  • Función de distancia:
. Es una función que ejemplifica lo más simple de las RBF, su matriz asociada es la matriz de distancia euclidiana, sus entradas son de la forma .
  • Función gaussiana:
  • Función multicuadrática:
  • Función multicuadrática inversa:
  • Función Spline poliarmónico:
  • Función Spline de placa delgada :

En las funciones gaussiana, multcuadrática y multicuadrática inversa el parámetro se le dice de forma (shape parameter en inglés), y determina el decaimiento de estas funciones a medida que uno se acerca o se aleja del centro de la RBF.

Aproximación[editar]

Las funciones de base radial son típicamente usadas para construir aproximaciones de funciones de la forma

donde la función de aproximación es una combinación lineal de N RBFs. Existen diversos métodos para calcular o estimar los coeficientes asociados, ya que esta aproximación define el sistema de ecuaciones lineales .


Referencias[editar]

Meshfree Approximation Methods with MATLAB, Gregory E. Fasshauser. Illinois Institute of Technology, USA