Función Xi de Riemann

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Función xi de Riemann en el plano complejo. El color de un punto codifica el valor de la función. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.

Definición[editar]

La función xi (minúscula) de Riemann está definida como:

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para la función xi es

La función Xi (mayúscula) está definida como

y también obedece a la misma ecuación funcional.

Valores[editar]

La fórmula general para enteros pares es

Por ejemplo:

Representación en forma de serie[editar]

La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:

Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener para todo número positivo n.

Hipótesis de Riemann[editar]

Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador

con

así,


,

cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.

Referencias[editar]