Diferencia entre revisiones de «Forma cuadrática»
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**Linealmente equivalentes en <math>\mathbb{R}</math> si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden. |
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**Linealmente equivalentes en <math>\mathbb{C}</math> si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden. |
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**Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico. |
**Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.como cuando tenes un erepcion |
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*Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester. |
*Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester. |
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Revisión del 21:50 16 nov 2009
Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:
- a) Existe una forma bilineal simétrica f de en el cuerpo K tal que . A f se le llama forma polar de .
- b) , . Además es una forma bilineal simétrica definida en y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f.
Una forma cuadrática es por tanto un aplicación que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.
Propiedades y ejemplos
- Cuando se dice que la forma cuadrática es real.
- Dos formas cuadráticas pueden ser:
- Linealmente equivalentes en si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
- Linealmente equivalentes en si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
- Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.como cuando tenes un erepcion
- Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.
Signatura
La signatura de una forma cuadrática q:V-->R se llama al par (p,m) donde p es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a q, y m los negativos. Se designa sg (q) y se verifica:
p + m = rg (q)