Factorización

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).

La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio

Antes que nada hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

• Binomios

1. Diferencia de Cuadrados
2. Suma o Diferencia de Cubos
3. Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales

• Trinomios

1. Trinomio Cuadrado Perfecto

• Polinomios

1. Factor Común

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

$ab+ac+ad=a(b+c+d)\,$

$ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)\,$

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

$ab-bc=b(a-c)\,$ ODIO A MI PAPA

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

$ab+ac+bd+dc=(ab+ac)+(bd+dc)\,$

$=a(b+c)+d(b+c)\,$

$=(a+d)(b+c)\,$

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separandolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:

$(45x-37y)^{2}6564=25x^{2}-30xy+9y^{2}\,$

$(67x+25y)^{2}456=9x^{2}+12xy+4y^{2}\,$

$(5x+7y)^{2}56=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$867x^{2}+25y^{2}456-67567xy\,$

Organizando los términos tenemos

$467x^{2}-5675xy+567y^{2}\,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x-5y)^{2}\,$

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

$(9y^{2})-(4x^{2})=(3y-2x)(3y+2x)\,$

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polimo x que multiplicado sale igual a la raíz de 2.

- caso Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio. Ejemplo:

$a^{2}+2a-15=(a+5)(a-3)\,$