Fórmula Pollaczek-Khintchine

En teoría de colas, una disciplina dentro de la teoría de la probabilidad, la fórmula de Pollaczek–Khinchine establece una relación entre la longitud de la cola y las transformadas de Laplace del tiempo de servicio para una  M/G/1  (donde las llegadas siguen una distribución de Poisson y los tiempos de servicio una distribución general). Este término también se usa para referir a las relaciones entre la longitud media de cola y el tiempo medio de espera/servicio en dicho modelo.​

La fórmula se publicó por primera vez por Felix Pollaczek en 1930​ y fue readaptada en términos probabilísticos por Aleksandr Khinchin​ dos años después.​​ En teoría de riesgo, la fórmula puede usarse para calcular la probabilidad de ruina final (probabilidad de que una compañía de seguros quiebre).​

Longitud media de cola

La fórmula establece que la longitud media de cola L viene dada por​

$L=\rho +{\frac {\rho ^{2}+\lambda ^{2}\operatorname {Var} (S)}{2(1-\rho )}}$

donde

• $\lambda$ es la tasa de llegadas de la distribución de Poisson
• $1/\mu$ es la media de la distribución del tiempo de servicio S
• $\rho =\lambda /\mu$ es la ocupación
• Var(S) es la varianza de la distribución del tiempo de servicio S.

Para que la longitud media de cola sea finita, es necesario que $\rho <1$ porque de otro modo los usuarios llegan más rápido que los que salen de la cola. La "intensidad de tráfico" varía entre 0 y 1, y representa el porcentaje medio del tiempo (en tanto por uno) que el servidor está ocupado. Si la tasa de llegadas $\lambda _{a}$ es mayor o igual a la tasa servicio $\lambda _{s}$ (esto es la inversa del tiempo de servicio, $\mu$), el tiempo en cola es infinito. La varianza aparece en la expresión debido a la Paradoja de Feller.​

Tiempo medio de espera

Si escribimos W para el tiempo medio que un usuario pasa en el sistema, entonces $W=W'+\mu ^{-1}$ donde $W'$ es el tiempo medio de espera en cola (tiempo en cola esperando a ser servidos) y $\mu$ es la tasa de servicio. Usando la Ley de Little, que establece que

$L=\lambda W$

donde

• L es la longitud media de la cola
• $\lambda$ es la tasa de llegadas de la distribución de Poisson
• W es el tiempo medio tanto en la cola como siendo servido,

así

$W={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}+\mu ^{-1}.$

Se puede escribir el tiempo medio de espera con la expresión​

$W'={\frac {L}{\lambda }}-\mu ^{-1}={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}.$

Transformada de la longitud de cola

Tomando π(z) como la función generatriz de probabilidad del número de usuarios en cola​

$\pi (z)={\frac {(1-z)(1-\rho )g(\lambda (1-z))}{g(\lambda (1-z))-z}}$

donde g(s) es la transformada de Laplace de la función densidad de probabilidad del tiempo de servicio.​

Transformada del tiempo de espera

Tomando W^*(s) como la transformada de Laplace–Stieltjes de la distribución del tiempo de espera,​

$W^{\ast }(s)={\frac {(1-\rho )s}{s-\lambda (1-g(s))}}$

donde de nuevo g(s) es la transformada de Laplace de la función densidad de probabilidad del tiempo de servicio. Pueden obtenerse n-ésimos momentos derivando la transformada n veces, multiplicando por (−1)ⁿ y evaluando con s = 0.

Referencias

• Datos: Q3726543