Fórmula de Hadjicostas
En matemáticas, la fórmula de Hadjicostas es una fórmula que relaciona una cierta integral doble con valores de la función gamma y la función zeta de Riemann. Es llamada en honor a Petros Hadjicostas.
Enunciado[editar]
Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re(s) > −2. Entonces
Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann.
Antecedentes[editar]
La primera instancia de la fórmula fue demostrada y usada por Frits Beukers en su artículo de 1978 paper dando una demostración alternativa al teorema de Apéry.[1] Él demostró la fórmula cuando s = 0, y demostró una formulación equivalente para el caso s = 1. Esto permitió a Petros Hadjicostas conjeturar la fórmula descrita arriba en 2004,[2] y en una semana había sido demostrada por Robin Chapman.[3] Él demostró que la fórmula se cumple cuando Re(s) > −1, y entonces se puede extender ese resultado por extensión analítica para llegar al resultado completo.
Casos especiales[editar]
Así como en los dos casos en lo que Beukers obtiene expresiones alternativas para ζ(2) y ζ(3), la fórmula puede usarse para expresar la constante de Euler–Mascheroni como una integral doble haciendo tender s a −1:
Esta última fórmula fue descubierta primero por Jonathan Sondow[4] y es la referida en el título del artículo de Hadjicostas.
Referencias[editar]
- ↑ Beukers, F. (1979). «A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3)». Bull. London Math. Soc. 11 (3): 268-272. doi:10.1112/blms/11.3.268.
- ↑ Hadjicostas, P. (2004). «A conjecture-generalization of Sondow’s formula». .
- ↑ Chapman, R. (2004). «A proof of Hadjicostas’s conjecture». .
- ↑ Sondow, J. (2003). «Criteria for irrationality of Euler's constant». Proc. Amer. Math. Soc. 131: 3335-3344. doi:10.1090/S0002-9939-03-07081-3.
Artículos[editar]
- Hessami Pilehrood, Kh.; Hessami Pilehrood, T. (2008). «Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative». .
- Sondow, J (2005). «Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula». American Mathematical Monthly 112: 61-65. arXiv:math.CA/0211148. doi:10.2307/30037385.
- Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). «The generalized-Euler-constant function γ(z) and a generalization of Somos's quadratic recurrence constant». Journal of Mathematical Analysis and Applications 332: 292-314. arXiv:math/0610499. doi:10.1016/j.jmaa.2006.09.081.