Estabilidad de Lyapunov

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En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos.

De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial homogénea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior.

Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.

Definición[editar]

Sea un campo de vectores en una variedad diferenciable M. Consideremos la ecuación diferencial

,

tal que (es decir, un punto de equilibrio de la ecuación). Diremos que es:

  1. estable en el sentido de Lyapunov si para todo , existe tal que si es solución de la ecuación con , entonces para tenemos .
  2. asintóticamente estable si cumple con el punto anterior y además el puede elegirse de manera que .

Ejemplos[editar]

(1) Sea la ecuación diferencial en . El 0 es un punto de equilibrio de la ecuación. Veamos que es asintóticamente estable.

Si entonces la solución de la ecuación con condición es . Es fácil ver que para todo tendremos que esa solución es decreciente y tiende a 0 cuando .

Por lo tanto, dado , tomando se cumple: si entonces para y .


(2) Para la ecuación el 0 también es un punto de equilibrio. Veamos que no es estable.

Si entonces la solución a la ecuación con condición es .

Tomando tenemos que ningún sirve para la definición de estabilidad: dado la solución verifica pero existe tal que .


(3) Sea la ecuación , donde . Veamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.

Para ello mostremos que si es solución a la ecuación entonces es constante: . Por lo tanto, toda solución que parte a distancia r del origen se mantendrá a distancia r siempre. Esto implica que el origen es estable pero no asintóticamente.

El caso lineal[editar]

Para el caso de ecuaciones en del tipo , donde , se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.

Si tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Si la matriz tiene algún valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable.

Para el caso en que tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable. Para ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geométricas de dichos valores propios. Cuando la matriz tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que: el origen es estable si y solo para todo valor propio con parte real 0 se tiene que la multiplicidad algebraica de es igual a la geométrica.

Algunos resultados[editar]

El teorema de Hartman-Grobman[editar]

Sea una función diferenciable. El teorema de Hartman-Grobman indica que para estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de la ecuación puede utilizarse su aproximación lineal en algunos casos. Más en concreto: sea tal que y su matriz jacobiana no tiene valores propios con parte real nula, entonces es (asintóticamente) estable si y solo si el origen es (asintóticamente) estable para la ecuación .

Funciones de Lyapunov[editar]

Sea una función de clase . Consideremos la ecuación . Supongamos verifica .

Sea un entorno de p, derivable tal que , . A una función así la llamaremos función de Lyapunov. Para solución a la ecuación diferencial, la derivada de es .

Existen dos resultados debidos a Lyapunov que conciernen este tipo de funciones:

  1. si entonces p es estable;
  2. si entonces p es asintóticamente estable.

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Sotomayor, Jorge (1979). Lições de Equações Diferenciais Ordinárias (en portugués). Río de Janeiro: IMPA (Projeto Euclides). 
  • Gil, Omar (2002). «Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría básica». Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales. Montevideo: IMERL (Facultad de Ingeniería, Universidad de la República). pp. 245-272. 
  • Imaz, Carlos; Vorel, Zdenek (1968). «El problema de estabilidad». Ecuaciones diferenciales ordinarias (primera edición). México D.F.: Limusa-Wiley S.A. pp. 123-156. 
  • Lyapunov, Aleksandr (1992). The general problem of stability of motion (en inglés) (primera edición). Londres: Taylor & Francis.