Grado de libertad (física)

El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al número mínimo de números reales que es necesario especificar para determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en mecánica clásica y en termodinámica.

En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección en la que éstas son capaces de moverse, existen dos grados de libertad: uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad (o el momento lineal).

El número de grados de libertad de un sistema cuando existen ligaduras entre las partículas, será el número de grados de libertad del sistema sin ligaduras, menos el número de ligaduras que relacionan las variables.

Obsérvese que esta definición no coincide ni con la definición de grados de libertad que se usa en ingeniería de máquinas, ni con la que se usa en ingeniería estructural.

Grados de libertad en mecánica clásica

En mecánica hamiltoniana el número de grados de libertad de un sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del sistema. En mecánica lagrangiana el número de grados de libertad coincide la dimensión del fibrado tangente del espacio de configuración del sistema.

Un conjunto de N partículas intereactuantes pero moviéndose sin restricciones en el espacio tridimensional tiene 3N grados de libertad. Si el conjunto de partículas se mueve sobre un estado d-dimensional el número de grados de libertad es 2d·N.

Si existen $k$ ligaduras entre las partículas el número de grados de libertad será

$GL=3N-k\leq 3N$

Ejemplos

• Partícula libre

Una sola partícula libre tiene 6 grados de libertad

• Partícula obligada a moverse sobre una superficie

La superficie supone una ligadura para las posiciones, ya que debe cumplirse

$F(x,y,z)=0\,$

y otra para las velocidades, ya que la velocidad debe ser en todo momento tangente a la superficie, por lo que

$0=\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \nabla F=v_{x}{\frac {\partial F}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial F}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial F}{\partial z}}$

por tanto el número de grados de libertad es

$GL=6-2=4\,$

valor que coincide con lo que se espera para un movimiento en una variedad bidimensional.

Ejemplo: Diferentes formas de visualizar los 3 grados de libertad de una molécula diatómica en forma de pesa. (CM: centro de masas del sistema, T: movimiento traslacional, R: movimiento rotacional, V: movimiento vibracional.)

• Dos partículas en los extremos de una varilla

Por tener dos partículas tenemos 12 grados de libertad, pero la condición de que la distancia entre las partículas sea fijada supone una ligadura para sus posiciones y otra para sus velocidades, lo que nos da

$GL=12-2=10\,$

Estos grados de libertad se pueden representar por variables diferentes (las tres coordenadas del centro de la varilla y los dos ángulos que dan la orientación de ésta, con sus correspondientes velocidades).

• Un sólido rígido

Un sólido formado por $N$ partículas posee en principio $6N$ variables. Pero el número de ligaduras es:

• • Para la primera partícula, ninguna
  • Para la segunda partícula, 2 (la distancia a la primera y su velocidad, como en el caso de dos partículas unidas por una varilla)
  • Para la tercera partícula, 4 (las distancias a las dos primeras partículas y sus correspondientes velocidades)
  • Para la cuarta y siguientes, 6, ya que una vez dada la distancia a tres partículas, la distancia a todas las demás está también fijada).

Por tanto el número de grados de libertad es

$GL=6N-2-4-6(N-3)=12\,$

que se pueden representar por seis variables (la posición del centro de masa y los ángulos de Euler) y sus correspondientes velocidades.

En general, no todas las ligaduras pueden representarse mediante una reducción en el número de variables (aunque sí en el número de variables independientes). Cuando tenemos un sistema en el cual las ligaduras no son integrables, se dice que el sistema es no holónomo.

Es importante señalar que la convención para contabilizar los grados de libertad en ingeniería mecánica es diferente, siendo justamente la mitad que en los casos (1) y (2).

Grados de libertad en mecánica estadística

Teorema de equipartición de la energía

En el límite clásico de la mecánica estadística la energía de un sistema en equilibrio térmico con n grados de libertad cuadráticos e independientes es:

$U=\langle E\rangle =n{\frac {k_{B}T}{2}}$

Donde:

$k_{B}\,$ es la constante de Boltzmann

$T\,$ es la temperatura

$n\,$ es el número de grados de libertad del sistema

Véase también

• Grados de libertad (ingeniería)