Espacio pseudométrico

En Matemáticas, espacio pseudométrico es una generalización del concepto de espacio métrico en el que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.​

Un espacio cuya topología está generada por una familia de pseudodistancias se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Definición

Un espacio pseudométrico $(X,d)$ es un par formado por un conjunto $X$ y una función $d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ (denominada pseudométrica o semidistancia), con valores reales no negativos, tal que para todo $x,y,z\in X$,

1. $d(x,x)=0$.
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (simetría)
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (subaditividad/desigualdad triangular)

Todo espacio pseudométrico es un espacio métrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse $d(x,y)=0$ para diferentes valores $x\neq y$.

Ejemplos

• Sea ${\mathcal {F}}(X)$ el espacio de funciones $f\colon X\to \mathbb {R}$ definidas en un conjunto $X$ con valores reales, en el que se ha elegido un punto $x_{0}\in X$. Este punto induce una pseudodistancia en ${\mathcal {F}}(X)$ definida por

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|$ para todo $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$

• En un espacio vectorial $V$, una seminorma $p$ induce una pseudodistancia definida por

$d(x,y)=p(x-y).$

• Todo espacio de medida $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo

$d(A,B):=\mu (A\Delta B)$ para todo $A,B\in {\mathcal {A}}$.

Topología

La topología pseudometrica es la topología inducida por las bolas abiertas

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},$

que forman una base para la topología.​ Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.

La diference entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topologicamente distinguibles).

Identificación métrica

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por $x\sim y$ si $d(x,y)=0$.

Sean

$X^{*}=X/{\sim }$

$d^{*}([x],[y])=d(x,y)$

Entonces $d^{*}$ es una métrica en $X^{*}$ y $(X^{*},d^{*})$ un espacio métrico bien definido.​

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto $A\subset X$ es abierto (o cerrado) en $(X,d)$ si y solo si $\pi (A)=[A]$ es abierto (o cerrado) en $(X^{*},d^{*})$, siendo $\pi \colon X\to X^{*}$ la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de $X$ la clase de equivalencia que lo contiene.

Referencias

• Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer. ISBN 3-540-18178-4. 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (new edition edición). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X. 
• Este artículo incorpora material de Pseudometric space en PlanetMath, que tiene licencia Creative Commons Atribución Compartir-Igual.
• Example of pseudometric space en PlanetMath.