Diferencia entre revisiones de «Teorema del punto fijo de Banach»
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Revisión del 16:14 3 oct 2013
En análisis matemático el teorema del punto fijo de Banach (también llamado teorema de la aplicación contractiva) es una de las herramientas más importantes para demostrar la existencia de soluciones de numerosos problemas matemáticos. El teorema garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas funciones definidas sobre espacios métricos y proporciona un método para encontrarlos. Debe su nombre a Stefan Banach (1892–1945), quien fue el primero en enunciarlo en 1922[cita requerida].
Enunciado
Sea (X,d) un espacio métrico completo y f una aplicación. Se dice que f es contractiva si existe una constante K con 0<K<1 tal que para cualesquiera . Un punto fijo de f es un punto de X tal que f() = . Entonces el teorema del punto fijo de Banach dice:
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Además, el teorema establece que para todo punto x de X la sucesión x, f(x), f(f(x)), ... converge a dicho punto fijo.
Demostración
La demostración se sigue de que la sucesión así definida es una sucesión de Cauchy por ser la función contractiva. Como X es completo, esta sucesión converge a un de X. Por ser la función contractiva, es continua y de la forma en que se ha definido, se sigue que es un punto fijo de la función y que es único.
Aplicaciones
Se trata de una herramienta básica en la demostración de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales (Véase el teorema de Picard-Lindelöf). Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población, modelos caóticos, etcétera. También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo numérico, por ejemplo en algunos problemas de ingeniería. Incluso determinados fractales son puntos fijos de ciertas contracciones.