Dimensión de empaquetado

La dimensión fractal de empaquetado es una forma de dimensión fractal que en ciertos casos difiere de las dimensiones fractles de Minkowski y de Hausdorff-Besicovitch.

Definción

La definición de la dimensión de empaquetado es similar a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, aunque en muchos casos difiere numéricamente de la misma. La diferencia clave entre ambas está en que la de Hausdorff-Besicovitch se define tomando el ínfimo de recubrimientos de diámetro acotado superiormente, mientras que la de empaquetamiento se define tomando el supremo de empaquetamientos de diámetro acotado superiormente.

Medida de empaquetamiento

Un δ-empaquetamiento sobre $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ se define como un colección finita o numerable de bolas abiertas disjuntas $\{B_{i}\}$ con radio menor que δ y centros sobre el conjunto $E\,$. Para δ > 0 se define:

${\mathcal {P}}_{0}^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}\sup \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|B_{i}|^{s}:\{B_{i}\}{\mbox{es un }}\delta {\mbox{-empaquetamiento sobre }}E\right\}$

Como desafortunadamente, ${\mathcal {P}}_{0}^{s}$ no es una medida en el sentido de la teoría de la medida (por no ser contablemente subaditiva), se hace necesario, para salvar esta dificultad, definir otra entidad:

${\mathcal {P}}^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal {P}}_{0}^{s}(E_{i}):E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right\}$

que ahora sí es una medida de Borel sobre $\mathbb {R} ^{n}$, y permite definir la dimensión de empaquetamiento.

Referencia

Bibliografía

• Falconer, Kenneth (1997). «11. Review of fractal geometry». Techniques in Fractal Geometry (en inglés). John Wiley & Sons. pp. 19-40. ISBN 0 471 95724 0.