Tensor de energía-impulso

En relatividad general la curvatura del espacio-tiempo vienen dada por el tensor de energía-impulso.

El tensor de tensión-energía, también llamado tensor energía-impulso (o igualmente tensor de energía - momento) es una cantidad tensorial en relatividad que se usa para describir el flujo de energía y el momento lineal de una distribución continua de materia en el contexto de la teoría de la relatividad, ademàs de ser de suma importancia en las ecuaciones de Einstein para el campo gravitacional.

Introducción

Fijado un conjunto de coordenadas o una base $\scriptstyle \{{\bar {\mathbf {e} }}^{0},{\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},{\bar {\mathbf {e} }}^{3}\}$ en cada punto del espacio-tiempo (los elmentos de esta base sería matemáticamente 1-formas), el tensor energía-impulso es un tensor de rango 2 que puede describirse como una matriz del tipo:

$\mathbf {T} (\mathbf {x} )=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\bar {\mathbf {e} }}^{\alpha }{\bar {\mathbf {e} }}^{\beta },\qquad T_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{bmatrix}}$

Donde en la expresión anterior se ha usado el convenio de sumación de Einstein. Si consideramos ahora un observador que se mueve con cuadrivelocidad $\scriptstyle \mathbf {u} =u^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }$ tenemos que la densidad de energía medida en un punto $\scriptstyle \mathbf {x}$ por dicho observador viene dada por:

$e=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}$

Y el flujo de energía a través de una superficie (de tipo espacial y en reposo respecto al observador) cuyo vector normal venga dado por $\scriptstyle \mathbf {n}$ viene dado por:

$-T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )u^{\alpha }n^{\beta }$

Ley de conservación

En el contexto de la teoría de la relatividad, la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la cantidad de movimiento pueden expresarse de manera muy simple en términos del tensor de energía-impulso. Concretamente ambas leyes pueden escribirse conjuntamente como una ecuación de continuidad del tipo:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

La cantidad

$P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x}$

sobre una rebanada de tipo espacio da el cuadrivector energía-momento o cuadrimomento. Este tensor es la corriente de Noether asociada a las translaciones en el espacio-tiempo. En relatividad general, esta cantidad actúa como la fuente de la curvatura del espacio-tiempo, y es la densidad de corriente asociada a las transformaciones de gauge (en este caso transformaciones de coordenadas) por el teorema de Noether. Ahora bien, en el espacio-tiempo curvado,la integral de tipo espacio depende de la rebanada de tipo espacio, en general. No hay de hecho manera de definir un vector global de energía-momento en un espacio-tiempo curvado en general.

Tensores relacionados

La parte tridimensional del tensor energía-impulso coincide con el tensor tensión de la mecánica de medios continuos.

Ejemplos

• En teoría de la relatividad el tensor energía-impulso de un fluido perfecto es expresable en términos de su cuadrivelocidad, densidad másica y presión:

(1)$T_{\mu \nu }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }$

Enlaces externos

• http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/diff_geom/Sec12.html