Teorema del punto fijo de Banach

Enunciado

Uno de los resultados más importantes del análisis matemático es el teorema del punto fijo de Banach, el cual dice que

Si en un espacio métrico X completo tenemos una función de X en X contractiva, es decir, tal que existe K<1 tal que $d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)$ para cualesquiera $x,y\in X$, entonces existe un único punto fijo $x_{0}\in X$, es decir, que satisface $f(x_{0})=x_{0}$. Stefan Banach

Se trata de una herramienta básica en la prueba de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales. Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población, modelos caóticos, etcétera. También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo numérico, por ejemplo en algunos problemas de ingeniería. Incluso determinados fractales son puntos fijos de ciertas contracciones.

Dada y'=f(x,y), despejo f(x,y) para lograr que en un costado de la ecuación me quede solamente x y la igualo a x=g(x,y)

Si |g'(x,y)|< 1 Converge linealmente

Si |g'(x,y)|> 1 Diverge linealmente

y en el caso que |g'(x,y)|= 0 se dice que g(x,y) converge cuadraticamente

Ejemplo

los puntos donde se intersectan la diagonal y la función periódica son dos puntos fijos de ésta

El punto donde se cortan las funciones $y=x$ e $y=f(x)$ es el punto fijo donde $F(k)=k$. Para que se dé esto, tiene que cumplirse las siguientes premisas:

1. $F(x)$ es continua en el intervalo (a, b)
2. $F(a)<a$ y $F(b)>b$ ó $F(a)>a$ y$F(b)<b$