Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos.
En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.
Definición
Consideremos la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:
La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:
Propiedades
En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:
En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:
Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:
Fórmulas de adición
Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para la funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:
Funciones elípticas de Jacobi secundarias
A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:
En segundo lugar los cocientes:
Junto con sus respectivas funcione recíprocas:
Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.