Espacio muestral

En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.

Sus elementos se representan por letras minúsculas $(w_{1},w_{2},...)$ y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas $(A,B,C,D,...)$ y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.

Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.

Espacio Probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilístico discreto:

Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable

• Su espacio muestral es finito de tamaño n.

• La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

$P(E)={1 \over n}$ , de aqui se deduce que para todo suceso A la probabilidad es $P(A)={n(A) \over n}$

Espacio Probabilistico Finito

• Su espacio muestral es discreto finito.

• Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.$P(A)\neq P(B)$

Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Arbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

Ejemplo

Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado

• La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades.

• La probabilidad de sacar una cara y un tres será ----> $P(c)\cdot P(3)={1 \over 2}\cdot {1 \over 6}={1 \over 12}$

• La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos

• La probabilidad de sacar impar será ----> $P(I)={1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}+{1 \over 2}\cdot {1 \over 6}$

Espacio Probabilistico Infinito Contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo

• La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ----> ${1 \over 2}$

• La probabilidad de que salga cara en la segunda tirada ----> ${1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 4}$

• La probabilidad de que salga cara en la tercera tirada ----> ${1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={1 \over 6}$

Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.

Espacio probabilístico contínuo

• Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio.

• Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asignana intervalos.

• Por tanto la función P está definida sobre intervalos -----> $P(K_{i}<Exp>K_{e})$

-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

$\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\;$ tal que:

1. $A_{1}\cup A_{2}\cup ..\cup A_{n}=\Omega$
2. $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \;\forall i\neq j;\ i,j=1..n$
3. $P(A_{i})>0\;\forall i=1..n$

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

• Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

• Ω'={2,3,4,...,12}

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.