Péndulo esférico

Péndulo esférico animado.

El péndulo esférico es una variante del péndulo simple en el que el movimiento de la masa pendular está confinado al segmento esférico delimitado entre dos paralelos. En consecuencia, es un sistema con dos grados de libertad.

Fundamento teórico

Existen dos integrales o constantes de movimiento: la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical M_z. La función lagrangiana viene dada por:

$L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+mgl\cos \theta$

donde $\phi$ es el ángulo polar y $\theta$ es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

Diagrama ilustrativo del péndulo esférico.

${\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}-l{\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta )=0\end{matrix}}$

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular

${\dot {\phi }}={\frac {M_{z}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

Así, podemos reescribir la lagrangiana como:

$L=K({\dot {\theta }})+U_{ef}(\theta )={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {M_{z}^{2}}{2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$

de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional.

Período

El movimiento de un péndulo esférico en general no es periódico, ya que resulta de la combinación de dos movimientos periódicos de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta cuasiperiódico; esto es, observadas una posición y una velocidad en el movimiento, existe un tiempo T tal que el péndulo estará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición y tendrá una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dado que la región de movimiento es compacta, el conjunto de puntos de la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimiento

Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de primera especie y tercera especie:

$t={\sqrt {\frac {ml^{2}}{2}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {E-U_{ef}(\theta )}}}\qquad \phi ={\frac {M_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int {\frac {d\theta }{\sin ^{2}\theta {\sqrt {E-U_{ef}(\theta )}}}}$

Referencias

Véase también

• Péndulo
• Péndulo de Foucault
• Péndulo simple
• Oscilador armónico

Bibliografía

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 
• Daw H. A., Coriolis lecture demostration. Am. J. Phys. 55 (11) November 1987, pp. 1010-1014

Enlaces externos

• Revista Colombiana de Físca, Vol. 38, No. 2. 2006
• Péndulo esférico Mecánica analítica. Miztli Y. Yépez Martínez