Curva de demanda

Curvas de demanda y curva de oferta.

La curva de la demanda es la representación gráfica de la relación matemática entre la máxima cantidad de un determinado bien o servicios que un consumidor estaría dispuesto a pagar a cada precio de ese bien.

La curva de demanda, junto con la curva de oferta, es una de las herramientas de análisis teórico empleadas en economía neoclásica para predecir la determinación de precios. El punto de intersección entre ambas curvas se conoce con el nombre de equilibrio entre la oferta y la demanda.

Introducción

La curva de demanda es un constructo útil en para predecir el efecto probable de ciertas medidas económicas, y el impacto de ciertas situaciones. Frecuentemente se habla de la curva de demanda como un objeto realmente existente, aunque realmente es un objeto abstracto cuya existencia se deriva de supuestos matemáticos concretos que a veces se cumplen sólo muy aproximadamente. Además la curva de demanda y sus propiedades dependen de que los consumidores presenten racionalidad perfecta, las mercancías sean infinitamente dividibles y otra serie de supuestos, criticables. Sin embargo, aún con las limitaciones que puedan imponer las abstracciones anteriores, la curva de demanda es un constructo teórico útil para comprender el comportamiento de los mercados, y en muchos casos pueden ser incluso una descripcidión empíricamente adecuada.

Factores que determinan la demanda

Conviene recordar que los factores que determinan la demanda de un bien son el precio del mismo, el precio de los demás bienes, la renta personal del consumidor y también las preferencias o gustos de los individuos. Los desplazamientos a lo largo de la curva de demanda expresan la variación de la cantidad demandada por efecto del precio, asumiendo que los demás factores se mantienen constantes.

Curva de demanda precio

La curva de demanda precio normalmente tiene una trayectoria descendente que muestra cómo, a medida que sube el precio, va descendiendo el consumo del producto. Excepcionalmente existen unos bienes, denominados bienes giffen, para los que la curva de demanda precio no es decreciente. Un bien Giffen sólo puede existir en un mercado con otros bienes substituibles.

Desplazamiento de la curva de demanda

Cuando la curva de demanda se desplaza hacia la derecha, explica un aumento en la demanda debido a la variación de un factor distinto del precio, y cuando la curva se desplaza hacia la izquierda esto manifiesta una disminución en la demanda debida también a la variación de un factor distinto del precio. Otros factores externos que influyen en el desplazamiento de la curva son: el aumento de la población demandante del bien. Cambios en las perspectivas de precios futuros.

La curva de demanda y el equilibrio

Para que el punto de equilibrio entre oferta y demanda sea único, hay varias características que debe cumplir la curva de demanda:

• Decreciente - Requiere que la elasticidad respecto al precio sea positiva para todo el dominio de la función.
• Continuidad - Depende de la infinita divisibilidad del bien.
• Derivabilidad - Depende la estructura de las curvas de indiferencia.
• Preferencias completas - El consumidor tiene que saber cuál de los siguientes casos le aplica: X>Y o X<Y o X~Y. Quiere dar a entender que uno prefiere X, o prefiere Y, o le da igual entre esas opciones. X puede ser un plátano e Y una manzana
• Racionalidad del consumidor - Si el consumidor prefiere X a Y, y prefiere Y a Z, tiene que preferir X a Z.

Deducción de la demandas de un consumidor

Bajo ciertos supuestos matemáticos idealizados puede demostrarse la existencia de una "curva" de demanda para un consumidor racional para el que pueden definirse "curvas" de indiferencia continuas. En un mercado con n bienes disponibles la "curva" de demanda al igual que las "curvas" son hipersuperficies de n dimensiones, y no una curva como sucede en un mercado de un único bien que no es ni complementario ni substitutivo de otros bienes. Usualmente se supone que un consumidor racional idealizado conoce de antemano la renta disponible y planifica su consumo durante un cierto período de tiempo eligiendo consumir en él una cantidad que maximiza su "satisfacción" y a la vez cumple la restricción presupuestaria de que el coste de las cantidades consumidas no supera la renta disponible. Matemáticamente eso implica encontrar el máximo de utilidad (1) sobre un cierto conjunto $\scriptstyle \Sigma$ (que es el conjunto compatible (2) con la restricción presupuestaria):

(1)$\max _{(Q_{1},\dots ,Q_{n})\in \Sigma }f_{U}(Q_{1},\dots ,Q_{n})$

(2)$\Sigma =\{(Q_{1},\dots ,Q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|\ P_{1}Q_{1}+\dots +P_{n}Q_{n}\leq Y\}$

Bajo ciertas condiciones razonables sobre la función de utilidad $\scriptstyle f_{U}$ puede demostrarse que el problema anterior admite una solución única para un nivel de renta y un conjunto de precios dados y, por tanto, define una función o "curva" de demanda.

Carácter decreciente

Además puede demostarse sin requerirlo a priori que si las funciones de utilidad son diferenciables y convexas entonces se cumplirá la función de demanda $\scriptstyle \mathbf {Q} =f_{D}(\mathbf {P} )$ es "decreciente" en el precio o más exactamente que:

$\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{i}}}\right)_{P_{j}\neq P_{i}}\leq 0$

Existencia de la curva de demanda

La existencia y unicidad de la curva de demanda bajo las condiciones anteriores pude probarse a partir del teorema de la función implícita. Para probar eso puede es necesario plantear un problema de extremos condicionados, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello se define la función auxiliar:

$\Phi (Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n};\lambda )=f_{U}(Q_{1},\dots ,Q_{n})-\lambda (Y-\sum _{k}P_{k}Q_{k})$

La función anterior tiene un máximo relativo cuando la utilidad alcanza un máximo, eso implica que se cumplen las siguientes relaciones entre utilidades marginales:

${\frac {\partial \Phi }{\partial Q_{i}}}={\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}-\lambda P_{i}=0$

De las relaciones anteriores puede despejarse de una de ellas $\lambda \,$ por ejemplo:

$\lambda ={\frac {1}{P_{i}}}{\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}$

Ahora definimos una función $\mathbf {F}$ a la que aplicar el teorema de la función implícita:

$F_{i}(Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n}):={\frac {1}{P_{i}}}{\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{i}}}-{\frac {1}{P_{n}}}{\frac {\partial f_{U}}{\partial Q_{n}}},\quad \forall i\leq n-1$

$F_{n}(Q_{1},\dots ,Q_{n};P_{1},\dots ,P_{n};Y):=Y-\sum _{k=1}^{n}P_{k}Q_{k}$

Es fácil comprobar que si la función de utilidad es estrictamente convexa:

$\mathbf {F} :{\mathbb {R} ^{+}}^{n}\times {\mathbb {R} ^{+}}^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},\quad \mathbf {F} (\mathbf {Q} ^{*};\mathbf {P} ;Y)=\mathbf {0} \ \land \ \det \left({\frac {\partial F_{i}}{\partial Q_{i}}}\right)\neq 0$

El teorema de la función implícita aplicado a la función anterior implica que existe una función $f_{D}\,$ tal que:

$\mathbf {Q} ^{*}=f_{D}(\mathbf {P} ;Y)$

La función $f_{D}(\cdot ,\cdot )$ es precisamente la función que da curva de demanda para el vector de precios y la renta disponible del consumidor.